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第一章 常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B. (2)A是B的必要条件，即B?A. (3)A是B的充要条件，即A＝B. (4)A是B的既不充分也不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
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或
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例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析 T＝{x∈Z|x<2}＝{－1，0，1}，a＝1时，S＝{0，1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0，1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件． 答案 充分不必要 2．抓住量词，对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1，2]，x－a≥0”与命题q：“存在x0∈R，x0＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x0∈[1，2]，x0－a≥0”与命题q：“存在x0∈R，x0＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________． 解析 (1)将命题p转化为当x∈[1，2]时， (x－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]． (2)命题p转化为当x0∈[1，2]时，(x0－a)max≥0， 即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，4]． 答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2，4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
3x＋4y－12>0，??
例3 设p：?2x－y－8≤0，
??x－2y＋6≥0，求r的取值范围．
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应
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q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，
2020版高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案新人教B版选修2_1
