含多个非线性项的Gronwall-Bellman 型非连续函数积分
不等式的推广
李自尊1,2
【摘 要】摘要:研究了含有未知函数的多个非线性项的非连续函数积分不等式,对每一个区间的估计,在未把不等式右边第一项放大为常数,而是保持为函数的情况下,利用分析技巧给出了未知函数的上界估计.利用此结果估计了脉冲微分方程解的上界.
【期刊名称】四川师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(041)003 【总页数】6
【关键词】关键词:非连续函数积分不等式; 未知函数估计; 脉冲微分系统 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-sichuan-normal-
university-natural-science_thesis/0201250536495.html
积分不等式是研究微分方程和积分方程的重要工具.通过对积分不等式中未知函数的估计,可以研究某些微分方程解的存在性、唯一性、有界性和稳定性等定性性质[1-3].通过对非连续函数积分不等式中未知函数进行估计,可以研究某些脉冲微分方程解的一些性质[4-16].2007年Iovane[4]研究了非连续函数积分不等式
u(t)≤a(t)+q(t)[f(s)u(τ(s))ds+ f(s)(g(t)u(τ(t))dt)ds+ ?t≥t0,
其中,a(t)>0,q(t)≥1,f(t)≥0,g(t)≥0,βi≥0.2013年严勇[5]研究了含有时滞的脉冲
积分不等式
u(t)≤a(t)+f(t,s)u(τ(s))ds+ f(t,s)(g(s,θ)u(τ(θ))dθ)ds+ ?t≥t0.
2015年米玉珍等[6]研究了含有未知函数复合的积分不等式 u(t)≤a(t)+f(t,s)g(s,τ)w(u(τ))dτds+ ?t≥t0,
其中,w(u)是定义在[0,∞)上的单调不减连续函数且当u>0时,w(u)>0.
本文在上述研究的基础上，研究了一类含三项未知函数复合的非连续函数积分不等式
f(t,s)(g(s,τ)w3(u(τ))dτ)ds+ (*)
其中,u(t)是[t0,∞)上只有第一类不连续点的非负逐段连续函数,φ(u)是[0,∞)上正严格递增函数,βi≥0是给定的常数.
1 主要结果
假设
(H1) φ在[0,∞)上是严格单增的连续函数,对任意u>0,ψ(u)>0;
(H2) wi(i=1,2,3)在[0,∞)上是连续不减函数,在(0,∞)上是正的,且是不减的; (H3) a(t)是定义在[t0,∞)上的连续函数,a(t0)≠0;
(H4) fi(t,s)(i=1,2)、f(t,s)和g(s,t)是定义在[t0,∞)×[t0,∞)上的非负连续函数; (H5) βi≥0是常数.
定理 1 具有第一类不连续点的非负逐段连续函数u(t),t≥t0≥0满足积分不等式(*),则函数u(t)有估计式 ?t∈[ti,ti+1), 其中 ?t∈[t0,t1), j=2,3, ?t∈[t0,t1), Ei(t)=e1(t)+ βk(φ(u(ti-1))),
?t∈[ti,ti+1), i=1,2,…, ?t∈[ti,ti+1), i=1,2,… j=2,3, ?t∈[ti,ti+1). 证明 令 (1)
由f(t,s)、g(t,s)和w(u(t))都是连续函数得 f(t,s)g(s,τ)w(u(τ))dτds= w(u(τ))f(t,s)g(s,τ)dsdτ= w(u(s))f(t,τ)g(τ,s)dτds≤ (2)
由(1)和(2)式,则(*)式变为 (3)
首先,考虑情况t∈[t0,t1),任意取定T∈[t0,t1),对于任意的t∈[t0,T],由(3)式得
含多个非线性项的Gronwall-Bellman型非连续函数积分不等式的推广
