1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
⑴ 设 y =1 n(1 +3厘)，则 dy = ______
2
(2)曲线y =e」的上凸区间是 ________________
⑷ 质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻1 ： ..：一秒到t2 - 二秒内质点所经
过的路程等于
lim f
x「0 *
丄
x ex
二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内
.)
(1)若曲线y =x2 ? ax ? b和2^-1 xy3在点(1,-1)处相切，其中a,b是常数，则()
(A) a =0,b - -2 (C) a --3,b =1 设函数
(B) (D)
x
a = 1,b - -3
=0 f (t)dt,0 兰 x 兰2,则
x3
——
I， 6 '2x _
2
0< x< 1 X ,1 :： X
乞 2 2
(A) F(x)二
3
1
(B)
F(x)二
3
(C) F
2x-
,1x^2
\)= x2
3 2x-
^2
x
2
(D)
F(x)二
2x
,「： x
x 2
2
设函数f (x)在(」：，?：：)内有定义，怡
2
2
f (x)的极大点，则 ()
x , 0 兰 x 兰 1,「
f(x)=彳’ ’记 F(x)
[2 —x,1 ex 兰2,
(B)
(A) x0必是f(X)的驻点 -x0必是- f (-X)的极小点
(C)
-x0必是-f (x)的极小点
1 +e‘
(D)
对一切x都有f(x)乞f (Xo)
⑷曲线y
1 -e」
-
()
仅有水平渐近线
既有水平渐近线又有铅直渐近线
(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线
(B) (D)
⑸ 如图，x轴上有一线密度为常数.二,长度为丨的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距
离为a,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 — a ―
O
m
x
0
J
(B)
丨kmJ(A)
km
.I
(a -x)
2
dx
(a -x)2
0
kmJ
(C)
2
严
(D)
三、(每小题5分,满分25分.)
x \■ ■ d y 2
(1) 设 ，求 2
y =ts int dx
(2)计算
dx
x x(1 x)
—sin x lim 2—— x 10 x (e -1)
2
(4)求 xsin xdx.
⑸ 求微分方程xy ' y = xex满足y(1) = 1的特解.
四、(本题满分9分)
利用导数证明：当 x 1时，有不等式
ln(1 x)
亠 成立.
In x 1 +x
五、(本题满分9分)
求微分方程 目 目=x cosx的通解?
六、(本题满分9分)
()
dx
dx
曲线y =(x_1)(x—2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋 转体的体积 七、(本题满分9分)
如图，A和D分别是曲线y = ex和y = e'x上的点，AB和DC均垂直x轴，且
AB : DC
八、(本题满分9分)
设函数 f (x)在(一口 )内满足 f (x) = f (x 7i) sin x,且 f (x) = x, x [0，二),
3兀
:：
计算 f (x)dx.
1991考研数二真题及解析
