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第 三 章 导 数 与 微 分
(A)
1、设f(x)?1，试按定义求f?(x)，f?(0). 1?x2、设f(x)?x?a?(x)，其中?(x)为连续函数，且?(a)?0，证明f(x)在a点不可导，又f(x)在a点处的左导数和右导数各等于什么？
?x?13、设f(x)??1?ex??0x?0x?0，求f?'(x),f?'(0)又f?(0)′是否存在.
?1?x?1?4、证明函数 f(x)??x?0?x?0x?0 在 x=0处连续但不可导.
x?5、已知 f(x)??2??x?ax?bx?0x?0，问a, b应为何值时，f(x)处连续、可导.
6、求曲线y?ex在点(0,1)处的切线方程和法线方程. 7、在抛物线y?x2上哪一点的切线有下面的性质 （1）平行于ox轴；
（2）与ox轴的正向构成45°角；
（3）与抛物线上横坐标为x1?1,x2?3的两点连线平行. 8、求过原点且与曲线y?x?9相切的直线方程. x?5x?x09、证明：若在点x0处f(x)可导，则limxf(x0)?x0f(x)?f(x0)?x0f?(x0).
x?x010、已知y?x2?a与y?bln(1?2x)在x?1对应的曲线上的点处相切，求a , b的
值.
11、一质点以初速为v0向上作抛物运动，其运动方程为S?S(t)?v0t?12gt（v0>0216
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为常数）
（1）求质点在t时刻的瞬时速度； （2）何时质点的速度为0； （3）求质点回到出发点时的速度.
12、（1）求圆的面积变量S相对于半径变量r的变化率； （2）求圆的面积为1时，周长?相对于变量r的变化率； （3）求圆的面积为1时，面积变量相对于变量周长?的变化率. 13、讨论函数y?sinx在x=0处的连续性和可导性. 14、设y?x?x在x=0处可导，求?的取值范围.
15、证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于
2a2.
16、求下列函数的导数: （1）y?x2?3x2x5； （2）y?(x?1)(1x?1)
x2?2x?1x2?x?1（3）y? （4）y? 3xx（5）y?(x?3)6x （6）y?xxx （7）y?x(x?a)(x?b)(a ,b为正常数) （8）y?17、求下列各函数的导数.
（1）y?5x3?2x?3ex （2）y?lnx?2lgx?log5x （3）y??x?e?
lnx1（4）y?
x lnx（5）y?2tanx?secx?cosa (a为常数) （6）y?3cosx?ex （7）y?（8）y?sinx x1?sint（9）y?x2?lnx?secx
1?cost
2lnx?x31（10）y?（11）y?3lnx?x2 1?x?x2
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x?15x2?3x?4（12）y?（13）y?x?1 x2?1
（14）f(x)?3x? , 求f?(0), f?(2). 5?x5dy（15）y=?sin? , 求.（16）y?xtanx?2cscx
d? 10x?12secx（17）y?x（18）y? 210?1 1?xex（19）y?3?ax?ln3?cotx （20）y?x2axsinx?e
x（21）f(x)?(1?x2)(5?（22）y?x2?x1), 求f?(1),2xf?(a).
x?x
（23）y?xarctanx
x23（24）y?2arcsinx?3x （25）y?arcsinx?arccosx
cos2x1?lnx（26）y?（27）y?
sinx?cosx 1?lnx（28）y?arcsinx（29）y?xnlnx
arccosx
n（30）y??(x?k)
k?018、求下列各函数的导数
（1）y=(2x+5)4 （2）y=cos(4-3x) （3）y?a?3x （4）y=sin2x （5）y=ln(1+x2) （6）y=a2?x2 （7）y=arctan(x2) （8）y=tanx2 （9）y=logacosx (a>0，a≠1)
（10）y=ln(x+x+1) （11）y?cos3x?e2
?x22
（12）y?arcsinx （13）y=ln(secx+tanx) （14）y=loga(cscx-cotx) （15）y=arccos
1 x18
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（16）y=(arcsin
x2 )（17）y=1?ln2x 2（18）y=earctanx （19）y=ln[ln(lnx)] （20）y?1?x?1?x1?x?1?x
（21）y=arcsin
1?x 1?x（22）y=arctan
x?1（23）y=[sin1?2x]2
x?1
x?1（24）y=ln(2-x+3-x+4-x) （25）y=2（26）y=xx2?a2?a2ln(x?x2?a2)
?ln(sinx)
e2x（27）y=（28）y = ln2x
3e?13x?2
1tanxxe（29）y=sin·（30）y?lntan?cosx?tan(lnx) x2
1x2?2xex1（31）y=arctan() （32）y=(arccos)2e-x
xx（33）y=sec(e+1) （34）y=ln(x·sin1?x2)
cosx（35）y=x?x?x （36）y=
cos2x2
x2
（37）y=1?cot(2x?1) 19、求下列隐函数的导数
（1）y2－2xy+9=0 （2）x3+y3－3xy=0 （3）xy=ex+ y （4）y?1?xey （5）y=tan(x+y) （6）y sin x+cos(x-y)=0 （7）xy?yx（x＞0,y＞0） （8）xy?ex?ey,求y?x?0 （9）ex?ey?sin(xy)
（10）sin(xy)+ln(y-x)=x, 求 y?x?0. （11）ln(x2+y2)=x+y－1,求dy(0,1).
（12）ex?ey?2xy?1 （13）arctan
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y?lnx2?y2 x百度文库
（14）y=x+lny （15）xsiny+y sinx=0 （16）cos(x2+y)=x （17）x?y?4 （18）y=exy+x （19）x2y－e2x=siny
y（20）x2?y2?5arctan（21）x=ex
x?yy
（22）sin(xy)－ln
x?1?1,求y?x?0 （23）y－2x=(x－y)ln(x－y) y（24）设y=y(x)是由方程1+sin(x+y)=e?xy在（0，0）点附近所确定的隐函数，求y?及y=y(x)在（0，0）点处的法线方程. 20、利用取对数求导法求下列函数的导数
?x?（1）y=?（2）y=?1?x??
x5x?55x?22
x?2(3?x)4x（3）y=（4）y= x?sinx?1?e5(x?1)
x2（5）y=
1?x33?x(3?x)2（6）y=
(x?1)(x?2)+xsinx
(2x?3)(3x?4)cotx2（7）y=(x+1?x2)x （8）y=(tan2x)21、求下列函数的二阶导数.
（1）y=2x2+lnx （2）y=e2x-1
（3）y=xcosx （4）y=e-t sin t （5）y=a2?x2 （6）y=ln(1-x2) （7）y=tan x （8）y=
2
1 x3?1ex（9）y=(1+x)arctan x （10）y=
x（11）y=xe
x22 （12）y=ln(1+1?x)
22、若f\存在，求下列函数的二阶导数.
（1）y=f ( x2 ) （2）y = f(sin2x) （3）y=f (lnx) lnx （4）y=ln[f (x) ]
20
第三章导数与分
