图27－Y－13
解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG. ∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°， ∴∠BFE＝∠CFD. 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BEF∽△CDF. (2)∵△BEF∽△CDF，
BEBF130－60260－CF∴＝，即＝， CDCF130CF∴CF＝169 cm.
13．[2015·黄冈] 已知：如图27－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交
AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证：∠BCP＝∠BAN； AMCB(2)求证：＝. MNBP
图27－Y－14
[解析] (1)由AC为⊙O直径，得到∠NAC＋∠ACN＝90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，从而证得
证明：(1)∵AC为⊙O直径， ∴∠ANC＝90°， ∴∠NAC＋∠ACN＝90°. ∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN. ∵PC是⊙O的切线， ∴∠ACP＝90°，
6
AMCB
＝. MNBP
∴∠ACN＋∠PCB＝90°， ∴∠BCP＝∠CAN， ∴∠BCP＝∠BAN. (2)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知∠BCP＝∠BAN， ∴△BPC∽△MNA， AMCB∴＝. MNBP
14．[2013·绍兴] 若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图27－Y－15①，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．
(1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)．
(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图②所示．
①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形，为什么？ ②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
图27－Y－15
解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6. (2)①以B4C4为一边的矩形不是方形． B4C416
理由：由题意，可知＝，
BC20∴B4C4＝25×
16
＝20. 20
∵20÷4＝5≠2，∴此矩形不是方形．
7
②设BC边上的高为h， BCB3C3
由题意可知，＝.
h3
h51BC2
若B3C3＝2×h，则＝；
5h311BC1
若B3C3＝×h，则＝. 25h6
21
综上所述，若以B3C3为一边的矩形为方形，则BC与BC边上的高之比为或. 36
15．[2013·苏州] 如图27－Y－16，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长，交边AB于点E，连接BP并延长，交边AD于点F，交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD.
(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y. ①求y与x之间的函数解析式； ②当x＝6时，求线段FG的长．
图27－Y－16
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠BAP.
?AB＝AD，
在△APB和△APD中，?∠BAP＝∠DAP，
?AP＝AP，
∴△APB≌△APD.
(2)①∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AFP∽△CBP，∴∵DF∶FA＝1∶2，
8
AFFP＝. BCBP
∴AF∶BC＝2∶3， ∴FP∶BP＝2∶3. 由(1)知PB＝PD＝x. 又∵PF＝y， ∴y22x＝3，∴y＝3
x. 即y与x之间的函数解析式为y＝23x.
②当x＝6时，y＝2
3×6＝4.
∴FB＝FP＋PB＝10. ∵DG∥AB， ∴△DFG∽△AFB， ∴FGFB＝FDFA， ∴FGFB＝12， ∴FG＝1
2×10＝5.
∴线段FG的长为5.
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第二十七章 相似 中考演练
