第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，
?x?y?y?x?2z?2z?。 ?x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域
(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限
1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim
x?0(x2?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22
?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。 2?x?y?x?y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。
dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
?x2?y2?z?8．曲线?4，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？
?y?4?x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。
abc10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。
1
11．设z?f?x,y?是由方程12．设xy?ey?ex，求
xz?z?z?ln确定的隐函数，求，。 zy?y?xdy。 dxz3?2z?z?z13．设z?f?x,y?是由方程e?z?xy?0确定的隐函数，求，，。
?x?y?y?x14．设z?yex?cosy，求全微分dz。
15．求函数z?ln?2?x2?y2?在点?1,2?的全微分。 16．利用全微分求
2?2.98?2??4.01?2的近似值。
17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。
x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面41919．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。
20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。 21．求函数f?x,y??e2x?x?y2?2y?的极值。
22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)z?arcsin?x?y??lnln?10?x?4y22?2??；(2)u?x2?y2?1
4?x2?y2y??2．(1)设f?x?y,??x2?y2，求f?x,y?，f?x?y,xy?。
x?? (2)设f?x,y??x?2y，求f?xy,f?x,y?? 3．求下列函数的极限
2
?2??(1)lim?1?22?x???x?y?y???2x2?y2??；(2) limex?0y?021x?y2?2?12sin?ex?y???? ???xy,当(x,y)??0,0??424．设f?x,y???x?y，问limf?x,y?是否存在？
x?0?y?00,当?x,y???0,0???xsin?x?2y?,x?2y?x?2y5．讨论函数的连续性，其中f?x,y???。 ?0,x?2y??xy,?x,y???0,0??226．二元函数f?x,y???x?y在点?0,0?处：①连续，偏导数存在；
?0,?x,y???0,0??②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
7．设z?1?x2y，求
??y?z?z，。 ?y?x?2f?f8．设u?f?2x?3y?2z?，求，2。
?x?x32?2f?f9．设u?f?2x,3y,2z?，求，。
?z?x?z3210．设z?xyf?x2?y2,x2?y2?，f可微，求dt。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求
?z?z，。 ?y?x12．设zx?yz?0，求dzx?1。
y?1z?113．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。
14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求
?z?z和。 ?y?x15．求z?x2?y2??xy的偏导数。
?x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdz?x?y?z?1
3
17．设u?exyz?3u，求。
?x?y?z18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。 19．求函数u?xx2?y2?z2在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的
切线方向上的方向导数。
6x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。
z21．判断题：(简单说明理由) (1)
?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。 ?y?x0,y0??f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存?y?y (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数在。
22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。 24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。
abc23232328．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入
R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：
R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优
广告策略。
29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。
4
30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。
(C)
1．证明limxyx?y22x?0y?0?0。
2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。
3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求
dy。 dx?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。
y?x?yx?t2?x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222?x?y?z?u?v?16．设z?u?x,y?eax?by?2u?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方，且
?x?y?2z?z?z???z?0。 程：
?x?y?x?y7．证明：旋转曲面z?f?x2?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。
?8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
5
(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案
