第二节 对数与对数函数(知识梳理)

解析:因为2a=3,3b=4, 所以a=log23,b=log34,

ln3ln4ln4所以ab=log23·log34=ln×==2. 2ln3ln2答案:2

5.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)1, 所以lg x>1或lg x<-1,

1所以x>10或0

1所以实数x的取值范围为{x|x>10或010或0

考点一 对数的基本运算

[例1] (1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n; (2)计算(1?log63)2?log62?log618;

log64(3)计算(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)法一 因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3,

所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12. 法二 因为loga2=m,loga3=n,

所以a2m+n=(am)2·an=(aloga2)2·aloga3=22×3=12.

621?2log63?（log63）?log6?log6(6?3)3(2)原式= log64=1?2log623?（log63）?(1?log63)(1?log63)

log6421?2log63?（log63）?1?(log63)2=

log64

21?log3）=（ 2log2666?log3=loglog 26662=log=1. log2662lg2lg3lg3(3)原式=(lg+)·(+) lg3lg9lg4lg82lg2lg3lg3=(lg+)·(+) lg32lg32lg23lg225lg3=3lg· 2lg36lg2=5. 4在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运

算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.

1.(1)计算log2 22的值是 ;

(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log222=log212=log2 2=-1. 2?12(2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-1 (2)2 22.(2024·杭州市期末检测)设a=log23,b=log38,则2a= ;ab= .

ln3ln8ln23ln2解析:由a=log23得2a=3,ab=log23×log38=ln×===3. ln22ln3ln23答案:3 3

考点二 对数函数的图象及应用

[例2] (1)已知函数y=loga(x+b)(a,b为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )

(A)a>1,b>1 (B)a>1,01 (D)0

(2)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则( (A)x1x2<0 (B)x1x2=0 (C)x1x2>1 (D)0

解析:(1)函数y=loga(x+b)递减,所以0

同时??loga(1?b)?0,1?b?1,?logb?0????0?b?1,?0

作出y=10x,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x1<0,x2<0.

) 不妨设x1

x110x2=-lg(-x2),此时10<10,

x1x2即lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得lg(x1x2)<0, 所以0

应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

1.(2024·绍兴市柯桥区二模)若loga2b>1 (D)b>a>1

lg2lg2解析:loga2lg b?a>b,综上0

2.(2024·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足ln b=a?1,a则下列判断正确的是( C ) (A)a>b (B)a1 (D)loga b<1

解析:由ln b=a?1=aa-1a得ln b-a+1a=0,

设f(x)=ln x-则

f′(x)=1x-x+11x(x>0),

?(x?1)2=2xx1x-12x2xx, 则函数f(x)=ln x-且f(1)=0,

x+在(0,+∞)上单调递减,

所以当01时,ln x-x+1xx+1x>0,即ln x>x-1xx-1x;

<0,即ln x<,

x-1x在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=由图易得若ln b=a?1=a的图象如图所示,

a-1a,则01

时,1logaa=1,当0loga a=1,C正确,D错误,故选C.

考点三 对数函数的性质及应用 [例3] 已知函数f(x)=log(x2-2ax+3).

12(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.

解:(1)由f(-1)=-3,得log(4+2a)=-3.

12所以4+2a=8,所以a=2.