第49讲 空间点、线、面的位置关系
1．下列命题正确的个数是(B)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①中两角应相等或互补；②的说法正确，因为两直线所成的角即夹角为锐角或直
角；③在平面几何中成立，但在立体几何中不一定成立；④根据平行公理，是正确的．因此②④是正确的．
2．(2017·哈尔滨模拟)已知a，b，c是空间中的三条不同的直线，命题p：若a⊥b，a⊥c，则b∥c；命题q：若直线a，b，c两两相交，则a，b，c共面，则下列命题中为真命题的是(D)
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∧q D．p∨(綈q)
若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以命题p是假命
题．
若直线a，b，c交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也是假命题．
故p∨(綈q)为真命题．
3．(2016·广州市高考模拟)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(B)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
甲?乙，但乙?/ 甲，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
4．如图，空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是(C)
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
因为E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， 11
所以EF綊AC，GH綊AC，
22所以EF綊GH，所以四边形EFGH为平行四边形． 又AC⊥BD，而EF∥AC，GF∥BD，所以EF⊥FG. 故四边形EFGH为矩形．
5．有下面几个命题：
①若空间四点不共面，则任意三点不共线；
②若直线l上有一个点在一个平面外，则直线l不在这个平面内； ③若a?α，b?α，b?β，c?β，则a，c必共面； ④三个平面两两相交，可有一条或三条交线．
其中真命题的序号是 ①②④ .
6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c; ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b; ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是 ①④ .(写出你认为正确的所有命题的序号)
由公理4知①是真命题．
在空间a⊥b，b⊥c，直线a，c可以平行、相交或异面，故②是假命题． 由a∥γ，b∥γ，直线a，b可以平行、相交或异面，故③是假命题． ④是直线与平面垂直的性质定理，真命题． 故真命题的序号为①④.
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
(1)连接A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B， 又因为A1B∥CD1，所以EF∥CD1. 所以E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1且EF≠CD1， 所以CE，D1F相交，设交于点P，如图，
因为CE?平面ABCD，所以P∈平面ABCD， 同理P∈平面ADD1A1，
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， 所以P∈DA，
所以CE，D1F，DA三线共点．
8．(2017·河南六市一模)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(D)
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
对于A，m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，所以A不是必然事
件；
对于B，m∥α，n⊥β，则m⊥β，又m∥α，则α⊥β，所以B是不可能事件； 对于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，所以C不是必然事件； 对于D，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，因此D是必然事件．
9．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号是 ②④ .(写出所有真命题的序号)
① 若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线； ②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直； ③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线； ④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
对于①，若直线m⊥α，如果α⊥β，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故
①错误；
对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则直线m垂直于α，β的交线．在平面β内，存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线与直线m垂直，故②正确；
对于③④，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．
AEAH
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，且＝＝
EBHD
1CFCG2
，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH是梯形． 2CBCD3
AEAH1
在△ABD中，＝＝，
EBHD2
1
所以EH∥BD，且EH＝BD.
3
CFCG2
在△BCD中，＝＝，
CBCD3
2
所以FG∥BD，且FG＝BD.
3根据平行公理知，FG∥EH.
又因为FG>EH，所以四边形EFGH是梯形．
2024年高考数学第49讲 空间点、线、面的位置关系
