【步步高】高三文科数学总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?UA＝{x|x∈U且x?A}
【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( √ ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
1
【步步高】高三文科数学总复习讲义
1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}?A B．a?A C．{a}∈A D．a?A 答案 D
解析 由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a?A.
2．(教材改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于( ) A．{－1,1,5} B．{－1,5} C．{1,5} D．{－1} 答案 A
解析 ∵A＝{－1,5}，B＝{－1,1}， ∴A∪B＝{－1,1,5}．
3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( ) A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A
解析 因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A. 4．(2019·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 答案 D
解析 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10； 即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________. 答案 2
解析 ∵A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
题型一 集合的含义
例1 (1)(2017·石家庄调研)已知集合A＝{x|x∈Z，且
3
∈Z}，则集合A中的元素个数为( ) 2－x
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
9
答案 (1)C (2)0或
83
解析 (1)∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，
2－x
又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1， 故集合A中的元素个数为4.
?2?
(2)若a＝0，则A＝?3?，符合题意；
??
9
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
8
9
综上，a的值为0或.
8
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(1)(2019·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1?A B．－11∈A
2
C．3k－1∈A(k∈Z) D．－34?A
b??
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a＝________.
??
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
2
【步步高】高三文科数学总复习讲义
b??
(2)因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，a≠0，
?
?
b
所以a＋b＝0，得＝－1，
a
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2. 题型二 集合的基本关系
例2 (1)(2019·唐山一模)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A?B的B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2
(2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x 解析 (1)∵{1,2}?B，I＝{1,2,3,4}， ∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x2－2 017x＋2 016<0，解得1 又B＝{x|x 可得a≥2 016. 引申探究 本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________． 答案 (－∞，1] 解析 A＝{x|1 可得a≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，则实数a的值为( ) 1111A.或－ B．－或 32321111C.或－或0 D．－或或0 3232 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 解析 (1)由题意知A＝{2，－3}． 当a＝0时，B＝?，满足B?A； 1 当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝， a 11 由B?A，可得＝－3或＝2， aa11 ∴a＝－或a＝. 32 11 综上，a的值为－或或0. 32 (2)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2； 当B≠?时，若B?A，如图， m＋1≥－2，?? 则?2m－1≤7，解得2 综上，m的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例3 (1)(2019·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( ) 3?－3，3? －3，－? A.?B.2?2??? 3 【步步高】高三文科数学总复习讲义 31，? C.??2?3? D.??2，3? (2)(2019·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)等于( ) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1 3 B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}， 2 3?3 得A∩B＝{x| (2)由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}． ∴?RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]， ∴P∪(?RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数 例4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x (2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1. (2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (1)(2019·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) (2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1 解析 (1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1 (2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B?A. ①当B＝?时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2. －3≤2m－1，?? ②当B≠?时，有?m＋1≤4， ??2m－1 解得－1≤m<2. 综上，m的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题 11 例5 若对任意的x∈A，∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1,0，，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴 x2 关系的集合的个数为________． 答案 7 1 解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非 2 1111 空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{，2}，{－1,1}，{－1，，2}，{1，，2}，{－1,1，，2}，共7个． 2222 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运 算△，B△A等于( ) A．{x|3 4 【步步高】高三文科数学总复习讲义 答案 B 解析 A＝{x|1 1．集合关系及运算 典例 (1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( ) A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3或0 (2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，则实数a的取值范围是________． 错解展示 解析 (1)由A∪B＝A得B?A，∴m＝3或m＝m， 故m＝3或m＝0或m＝1. (2)∵B?A，讨论如下： Δ＝4?a＋1?2－4?a2－1?>0，?? ①当B＝A＝{0，－4}时，?－2?a＋1?＝－4， ??a2－1＝0， 解得a＝1. ②当BA时，由Δ＝0得a＝－1， 此时B＝{0}满足题意， 综上，实数a的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错 解析 (1)A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B?A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B. (2)因为A＝{0，－4}，所以B?A分以下三种情况： ①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 Δ＝4?a＋1?2－4?a2－1?>0，?? ?－2?a＋1?＝－4，??a2－1＝0， 解得a＝1； ②当B≠?且BA时，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意； ③当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况． 1．(2019·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 C 解析 由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 2．设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A且x?B，则x等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 答案 B 解析 因为x∈A且x?B，所以x＝3，故选B. 3．已知集合A＝{x|1 11A．[，＋∞) B．[0，) 33C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 答案 D 解析 ∵A∩B＝?， 5
2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
