[A组 夯基保分专练]
一、选择题
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
3335
解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周
2222期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
1
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为( )
2A.C.7
47 3
3B. 41D. 3
1
解析：选A.由bsin B－asin A＝asin C，
2且c＝2a， 得b＝2a，
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23
因为cos B＝＝＝，
2ac4a24所以sin B＝
3?71－?＝?4?4. 23．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c
a2＝c2＋ac－bc，则＝( )
bsin B
A.C.3 23 3
2
23B.
3D.3
2
2
2
b2＋c2－a2bc
解析：选B.由a，b，c成等比数列得b＝ac，则有a＝c＋b－bc，由余弦定理得cos A＝＝2bc2bcπ13csin C
＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2 B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理得，＝2＝232bsin Bsin Bsin C23
＝.故选B.
33sin C2
4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( ) A．1 C.3
B.2 D．2
31
，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC21010
解析：选A.法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×5×2×?－
?
1?1
＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin
210?
3
2×22S△ABC133
∠BAC＝×2×5×＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A.
2BC3102
法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－故选A.
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )
πA. 12πC. 4
πB. 6πD. 3
1
<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于2，10
解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得
sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
3π所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝.
4c·sin A
由正弦定理得sin C＝＝aππ
又0 466.如图，在△ABC中，∠C＝ π ，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂3 2×221＝， 22 足．若DE＝22，则cos A等于( ) 22A. 3C.6 4 B.D.2 46 3 DE22BC 解析：选C.依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝ sin Asin Asin∠BDCBD4222424426 ，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝. sin Csin 2Asin A2sin Acos A433sin A3sin A 二、填空题 7．若sin? ππ1 －α?＝，则cos?＋2α?＝________． ?3?4?3? π 解析：依题意得cos?＋2α? ?3?＝－cos?π－? ? π ＋2α?? ?3?? π ＝－cos?2?－α?? ??3?? 1?π ＝2sin?－α?－1＝2×??4?－1 ?3? 2 2 7＝－. 87 答案：－ 8 C5 8．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝________． 25 C13 解析：因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝ 2553 －?＝32，所以AB＝42. 25＋1－2×5×1×??5?答案：42 9．(2018·惠州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________． 4c4c 解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A sin Asin Csin Asin 2A16－b2（4－b）（4＋b）4＋b4＋b －16bcosA，又b≠4，所以cosA＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋ 161664－16b16（4－b） 2 2 4b.因为b∈(4，6)，所以32 答案：(42，210) 三、解答题 10．(2018·沈阳教学质量监测(一))在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B＝2a＋b. (1)求C； (2)若a＋b＝6，△ABC的面积为23，求c. 解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B， 又sin A＝sin(B＋C)， 所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B， 所以2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B， 所以2sin Bcos C＋sin B＝0， 1 因为sin B≠0，所以cos C＝－. 22π 又C∈(0，π)，所以C＝. 31 (2)因为S△ABC＝absin C＝23， 2所以ab＝8， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝28， 所以c＝27. 3c 11．(2018·石家庄质量检测(二))已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝tan A＋tan acos BB. (1)求角A的大小； (2)设AD为BC边上的高，a＝3，求AD的取值范围． 解：(1)在△ABC中，因为sin Acos B＋sin Bcos A ， cos Acos B π31 所以＝，则tan A＝3，所以A＝. sin Acos A311 (2)因为S△ABC＝AD·BC＝bcsin A， 221 所以AD＝bc. 2 222 1b＋c－a2bc－3 由余弦定理得cos A＝＝≥， 22bc2bc 3c3sin Csin Asin B3sin C ＝tan A＋tan B，所以＝＋，即＝acos Bsin Acos Bcos Acos Bsin Acos B 所以0 所以0 2 12．(2018·郑州质量检测(二))已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，c＝3. (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，AD＝ 19，求△ABC的面积． 2 解：(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，由正弦定理得， bsin B－asin A＝bsin C－csin C，即b2－a2＝bc－c2， b2＋c2－a21 所以cos A＝＝，因为0° 2bc2 (2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线． 在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝19， 在△ABE中，由余弦定理得AE＝AB＋BE－2AB·BEcos 120°， 1 －?，得AC＝2. 即19＝9＋AC2－2×3×AC×??2?133故S△ABC＝bcsin∠BAC＝. 22 [B组 大题增分专练] 1．(2018·长春质量监测(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝b2sin A. c (1)求的值； b 23 (2)设内角A的平分线AD交于BC于D，AD＝，a＝3，求b. 31c 解：(1)由S＝bcsin A＝b2sin A，可知c＝2b，即＝2. 2b233 (2)由角平分线定理可知，BD＝，CD＝， 33 4444 4b2＋－4b2＋－22 33334b＋3－b4b＋3－b 在△ABC中，cos B＝，在△ABD中，cos B＝，即＝，解得b 2·2b·3232·2b·323 2·2b·2·2b·33 2 2 222 ＝1. 2 2．(2018·贵阳模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高h＝c. 33 (1)若△ABC为锐角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值； 51 a2＋b2＋c2 3π (2)若C＝，M＝，求M的值． 4ab解：(1)作CD⊥AB，垂足为D， 3 因为△ABC为锐角三角形，且cos A＝， 544 所以sin A＝，tan A＝， 53cc 所以AD＝，BD＝AB－AD＝， 22所以BC＝CD＋BD＝ 22?2c?＋?c?＝5c， ?3??2?6 22 4c× 524ABsin A 由正弦定理得：sin∠ACB＝＝＝. BC5c25 61212 (2)因为S△ABC＝c×c＝absin∠ACB＝ab， 232432 所以c2＝ab， 4
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题二 2 第2讲 专题强化训练（含解析）
