[A组 夯基保分专练]
一、选择题
1.(2024·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
3335
解析:选B.易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=(2cos2x-1)++1=cos 2x+,则f(x)的最小正周
2222期为π,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.
1
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B为( )
2A.C.7
47 3
3B. 41D. 3
1
解析:选A.由bsin B-asin A=asin C,
2且c=2a, 得b=2a,
a2+c2-b2a2+4a2-2a23
因为cos B===,
2ac4a24所以sin B=
3?71-?=?4?4. 23.(2024·洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c
a2=c2+ac-bc,则=( )
bsin B
A.C.3 23 3
2
23B.
3D.3
2
2
2
b2+c2-a2bc
解析:选B.由a,b,c成等比数列得b=ac,则有a=c+b-bc,由余弦定理得cos A==2bc2bcπ13csin C
=,故A=,对于b2=ac,由正弦定理得,sin2 B=sin Asin C=·sin C,由正弦定理得,=2=232bsin Bsin Bsin C23
=.故选B.
33sin C2
4.(2024·昆明模拟)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,tan∠BAC=-3,则BC边上的高等于( ) A.1 C.3
B.2 D.2
31
,cos∠BAC=-.由余弦定理,得BC21010
解析:选A.法一:因为tan∠BAC=-3,所以sin∠BAC==AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=5+2-2×5×2×?-
?
1?1
=9,所以BC=3,所以S△ABC=AB·ACsin
210?
3
2×22S△ABC133
∠BAC=×2×5×=,所以BC边上的高h===1,故选A.
2BC3102
法二:因为tan∠BAC=-3,所以cos∠BAC=-故选A.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=( )
πA. 12πC. 4
πB. 6πD. 3
1
<0,则∠BAC为钝角,因此BC边上的高小于2,10
解析:选B.因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得
sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C≠0,
3π所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.
4c·sin A
由正弦定理得sin C==aππ
又0 466.如图,在△ABC中,∠C= π ,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂3 2×221=, 22 足.若DE=22,则cos A等于( ) 22A. 3C.6 4 B.D.2 46 3 DE22BC 解析:选C.依题意得,BD=AD==,∠BDC=∠ABD+∠A=2∠A.在△BCD中,= sin Asin Asin∠BDCBD4222424426 ,=×=,即=,由此解得cos A=. sin Csin 2Asin A2sin Acos A433sin A3sin A 二、填空题 7.若sin? ππ1 -α?=,则cos?+2α?=________. ?3?4?3? π 解析:依题意得cos?+2α? ?3?=-cos?π-? ? π +2α?? ?3?? π =-cos?2?-α?? ??3?? 1?π =2sin?-α?-1=2×??4?-1 ?3? 2 2 7=-. 87 答案:- 8 C5 8.(2024·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=________. 25 C13 解析:因为cos C=2cos2 -1=2×-1=-,所以由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C= 2553 -?=32,所以AB=42. 25+1-2×5×1×??5?答案:42 9.(2024·惠州第一次调研)已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,b∈(4,6),sin 2A=sin C,则c的取值范围为________. 4c4c 解析:由=,得=,所以c=8cos A,因为16=b2+c2-2bccos A,所以16-b2=64cos2A sin Asin Csin Asin 2A16-b2(4-b)(4+b)4+b4+b -16bcosA,又b≠4,所以cosA===,所以c2=64cos2A=64×=16+ 161664-16b16(4-b) 2 2 4b.因为b∈(4,6),所以32 答案:(42,210) 三、解答题 10.(2024·沈阳教学质量监测(一))在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2ccos B=2a+b. (1)求C; (2)若a+b=6,△ABC的面积为23,求c. 解:(1)由正弦定理得2sin Ccos B=2sin A+sin B, 又sin A=sin(B+C), 所以2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B, 所以2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B, 所以2sin Bcos C+sin B=0, 1 因为sin B≠0,所以cos C=-. 22π 又C∈(0,π),所以C=. 31 (2)因为S△ABC=absin C=23, 2所以ab=8, 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+ab+b2=(a+b)2-ab=28, 所以c=27. 3c 11.(2024·石家庄质量检测(二))已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=tan A+tan acos BB. (1)求角A的大小; (2)设AD为BC边上的高,a=3,求AD的取值范围. 解:(1)在△ABC中,因为sin Acos B+sin Bcos A , cos Acos B π31 所以=,则tan A=3,所以A=. sin Acos A311 (2)因为S△ABC=AD·BC=bcsin A, 221 所以AD=bc. 2 222 1b+c-a2bc-3 由余弦定理得cos A==≥, 22bc2bc 3c3sin Csin Asin B3sin C =tan A+tan B,所以=+,即=acos Bsin Acos Bcos Acos Bsin Acos B 所以0 所以0 2 12.(2024·郑州质量检测(二))已知△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3. (1)求A; (2)若AD是BC边上的中线,AD= 19,求△ABC的面积. 2 解:(1)对于2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,由正弦定理得, bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2, b2+c2-a21