数学归纳法教学设计
【教学目标】 （1）知识与技能：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；
③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。 （2）过程与方法：
努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 （3）情感态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题； 【教学难点】
数学归纳法中递推关系的应用。 【辅助教学】
多媒体技术辅助课堂教学。 【教学过程】
一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
问题2: 如果?an?是一个等差数列，怎样得到an?a1??n?1?d? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
二、搜索生活实例，激发学生兴趣
展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）
① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下
相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k块骨牌能推倒第k?1块骨牌 三、师生合作，形成概念。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0 n0?N*时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n?k k? n0 , k?N*时命题成立，证明当n?k?1命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 上述这种证明方法叫做数学归纳法。 四、讲练结合，巩固概念 类型一 用数学归纳法证明等式
例1：用数学归纳法证明：12?22?32?K?n2?????n(n?1)(2n?1)
6证明：（1）当n?1时，左边：1?1，右边：
*21?(1?1)?(2?1)?1，左边=右边，等式成立。
6 （2）假设当n?k(k?N)时等式成立，
即12?22?32?...?k2?k(k?1)(2k?1) (k?N*)
6 则当n?k?1 k?N*时，
??k?k?1??2k?1?2??k?1? 左边?1?2?3?L?k??k?1??622222 ?(k?1)(k?2)(2k?3) =右边
6n(n?1)(2n?1)成立
6即当n?k?1时，等式也成立。
由(1)，(2)得：对?n?N*，等式12?22?32?K?n2?【方法技巧】证明中的几个注意问题：
（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳） （2）在第二步中,证明n?k?1命题成立时,必须用到n?k命题成立这一归纳假设，否则就打破数
学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） （3）明确变形目标（写明结论，才算完整）
变式训练：用数学归纳法证明：1?2?2?3?3?4?L?n(n?1)?证明： （1）当n?1时，左边?1?2?2，右边? （2）假设当n?k时，等式成立，
即1?2?2?3?3?4?L?k?k?1??则当n?k?1时
1n(n?1)(n?2) 31?1?2?3?2，左边=右边，等式成立； 31k?k?1??k?2?， 31?2?2?3?3?4?L?k?k?1???k?1??k?2?
1?k?k?1??k?2???k?1??k?2? 3?1???k?1??k?1??k?2? ?3?1??k?1????k?1??1?????k?1??2?? 3所以n?k?1，公式成立， 由（1）（2）可知，当n?N*时， 公式1?2?2?3?3?4?L?n(n?1)?类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列
1n(n?1)(n?2)成立. 31111,,,L,,L Sn为该数列的前n项和， 1?44?77?103n?23n?1????计算S1,S2,S3,S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：S1?11182?， S2?S1??? 1?444?72871213131404??， S4?S3????? 7?10701010?131010?1313013S3?S2?根据上述结果，猜想Sn?n. 3n?1111，右边??，猜想成立， 43?1?14证明：（1）当n?1时，左边?S1?（2）假设当n?k k?N*时猜想成立，即
??Sk?1111k???L??， 1?44?77?10?3k?2??3k?1?3k?1那么，当n?k?1时，
Sk?1?11111 ???L??1?44?77?103k?23k?13k?1?23k?1?1????????????????
k?3k?4??1k13k2?4k?1?? ??3k?1?3k?1??3k?4??3k?1??3k?4??3k?1??3k?4???k?1??3k?1??k?1?k?1， ?3k?1??3k?4??3k?4?3?k?1??1n 3n?1 所以，n?k?1时，猜想成立，
由（1）（2）可知，对于n?N，猜想成立，即，?n?N*,Sn?【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节 学生总结 课件展示 框图呈现 变式训练：设a?0,f(x)?ax?，令a1?1,an?1?f(an),n?N， a?x (1)写出a1,a2,a3，并猜想出数列?an?的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论. 五、课堂小结 1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法； 2.用数学归纳法证明等式：
①找准基础，奠基要稳。②用上假设，递推才真。③写明结论，才算完整 3.归纳——猜想——证明 六、当堂检测 1.用数学归纳法证明1?2?2?L?2所得的项为( C )
A.1 B.1?2 C.1?2?2 D. 1?2?2?2 2.用数学归纳法证明
2232n?1?2n?2?1(n?N*)的过程中，在验证n?1时，左端计算
(n?1)(n?2)L(n?n)?2n?1?3?L?(2n?1)(n?N*)，“从k到k?1”左端增乘的代数式为
（22k?1）23.已知数列?an?的前n项和Sn?nan (n?2)，而a1?1，通过计算a2,a3,a4，猜想an?( B )
A.
2222 B. C. D. 2n(n?1)n(n?1)2?12n?1设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力. 拓展训练（延伸提高，课下思考）
1.用数学归纳法证明2?n (n?5,n?N). 2. (2014·石家庄高二检测)求证：
n2?1115??L?L? (n?2,n?N*). n?1n?23n6
高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22
