第六讲 正态分布
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．正态曲线的定义
(x??)22?2 函数??,?(x)?1e2???,x?(??,??)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称??,?(x)的图象为正态
分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)． 二．正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x??对称； ③曲线在x??处达到峰值1；
?2?④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当?一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由?确定，?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
三、正态分布
1．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b?a?b?，随机变量X满足P?a?X?b???ba??,??x?dx(即x=a，x=b，正态曲线
及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X~N(?,?)． 2．正态分布的三个常用数据
①P(????X????)?0.6826； ②P(??2??X???2?)?0.9544； ③P(??3??X???3?)?0.9974. 【注】若X~N(?,?)，则P(X??)?0.5.
22【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 正态分布的对称性
【例1】（1）已知随机变量XA．0.2
B．0.3
N(1,?2)，且P(X?2)?0.2，则P(X?0)?（ ）
C．0.5
D．0.7
（2）已知随机变量X服从正态分布N?a,4?且P(X?1)?0.5,则实数a?( )
A．1
B．3 D．4
C．2
（3）某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩?服从正态分布N(90,a2)(a>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A．600 C．300
【答案】（1）A（2）A （3）D 【解析】（1）由题意，随机变量XB．400 D．200
N(1,?2)，且P(X?2)?0.2，
可得正态分布曲线关于X?1对称，可得P(X?0)?P(X?2)?0.2，故选A． （2）由题意可得正态曲线的对称轴为X=a,又因为P(X?1)?0.5,所以a=1.
（3）根据正态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的0.5?0.3=0.2，故有大约
1000?0.2?200人，选D.
【举一反三】
1．一试验田某种作物一株生长果个数x服从正态分布N90,??2?，且P?x?70??0.2，从试验田中随机
抽取10株，果实个数在?90,110?的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为（ ） A．3 【答案】B
【解析】∵x～N(90,?)，且P?x?70??0.2，所以P?x?110??0.2
2B．2.1 C．0.3 D．0.21
∴P?90?x?110??0.5?0.2?0.3，∴X～B?10,0.3?，
X的方差为10?0.3??1?0.3??2.1．故选B．
2．已知随机变量?服从正态分布N?3,4?，若P???2a?1??P???a?4?，则a的值为______. 【答案】1 【解析】由于?N?3,4?，??3，依题设x?2a?1与x?a?4关于x?3对称，
即?2a?1???a?4??6，解得：a?1.
23．已知随机变量X服从正态分布N2,?且P?X?4??0.88，则P?0?X?4??_____________
??
2024年高考数学一轮复习专题7.6正态分布练习(含解析)
