第5讲 运动学综合
截止到目前，我们已经把运动学的主要框架知识都学习完了，但是从学完知识到灵活运用，还有很远的一段路程。大家应该重点从公式和物理量的推导，方法，模型的总结几个方面去反复复习。
温馨寄语
知识点睛
运动学思想方法总结：
1．坐标系方法：坐标系是定量研究世界的一个非常重要的工具，利用坐标系可以很容易的定义物理量（比如，位置，位移，轨迹，速度，加速度等等），分析物理量之间的关系（最大，最小，曲率半径等等）． 坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解，还有以后会学习到的极坐标等等．要注意根据不同的例题采用不同的方法．
例题精讲
【例1】 如图?a?所示，冰球沿与冰山底边成??60?的方向滚上山，上山初速度v0?10m/s，它在冰
山上痕迹已部分消失，尚存痕迹如图?b?所示，求冰山与水平面的夹角?（冰球在冰山上加速度为gsinα，方向沿着斜面向下，其中g为重力加速度，近似取10m/s2）。
【解析】 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动，
① x?v0cos??t
冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动
1② y?gsin??t2
2gsin?x2?2由①②得y?． 2v0cos2?1代入数据得??arcsin?30?．
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【例2】 如图所示，已知在倾角为?的斜面上，以初速度v0及与斜面成?角的方向发射一小球，斜面
与小球发生完全弹性碰撞，即小球的速度会被“镜面反射”．问： ⑴ 小球恰能到原始出发点，问总时间t总为多少？ ⑵ 为了实现这个过程，?必须满足什么条件？
【解析】 小球若能回到出发点要求整个过程可逆，即在最右端可能有①②两种情况．
①为最后一次与斜面碰撞角度为90?． ②即在碰后小球进入竖直直线运动． 无论哪种情况，时间都满足：
2vcos?⑴ t总?0
gsin??2v0sin??ngcos??⑵ 只看垂直斜面速度t总??，n?1，2，3，4……
2vsin?2n?1??0?gcos??2?ncos2??所以有2??2n?1 时都可以满足．
sin???2
【例3】 （摆线）一轮胎在水平地面上沿着一直线无滑动地滚动。(这种情况下，轮胎边缘一点相对
于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率)，轮胎中心以恒定的速率v0向前移动，轮胎的半径为R，在t?0时，轮胎边缘上的一点A正好和地面上的O点接触，试以O为坐标原点，在如图的直角坐标系中写出轮胎上A点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并写出A的轨迹方程（可以用参数方程描述，也就是说，可以引入一个新的自变量，x和y 都随着这个自变量的变化而变化。最常见的参数方程，就是以时间t为参数的。）
y O' A A 【解析】x?v0t?Rsin(v0 x
v0t) Rvty?R?Rcos(0)
R【选讲内容】
白努力家族大斗法：
白努力家族（Bernoulli 家族）总共出过八个伟大的数学、物理、天文等等大师，还有很多画家、艺术家……
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白努力兄弟想比较一下谁更聪明。于是就相约解决最速降线问题。 在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案，他们各自提出了证明，杂志的主编，莱布尼茨也提出了证明，还有一个陌生人发来了一个有英国邮戳的证明…………肯定是牛顿…… 最后所有的证明中，Johann的证明是最简洁明了了。如下：
Johann Bernoulli's solution约翰白努力的证明 According to Fermat’s principle: The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time. Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravity g).[2] The conservation law can be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as: ,
where y represents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.
Johann Bernoulli noted that the law of refraction gives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:
,
where vm is the constant and represents the angle of the trajectory with respect to the vertical. The equations above allow us to draw two conclusions:
1. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be nil. Hence, the
brachistochrone curve is tangent to the vertical at the origin.
2. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle
θ = 90°.
To keep things simple we can assume that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reaches maximum speed after a falling a vertical distance D. So,
.
Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:
which can be solved for dx in terms of dy:
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.
Substituting from the expressions for v and vm above gives:
which is the differential equation of an inverted cycloid generated by a circle of diameter D
【例4】 一根长为l的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，如图所示．杆最初
在水平位置，杆上距O为a处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态．若此杆突然以匀角速?绕O轴转动，设碰撞时细杆与水平面夹角为?求B追上细杆时?与?的关系。仅仅考虑?比较小的情况。
【解析】 ⑴ 对这一问题首先如下分析：
当细杆以角速?绕O同转动时，B的速度为零，杆上与O接触处则
具有线速度?a，因而两者分离，B作自由落体运动，由于B的速度不断增大，有可能追上细杆而与之碰撞，设碰撞时细杆与水平面夹角为?，则?随?的增大而增大，当?超过某一数值时，B就可能碰不上B而与之碰撞，所以本题要按这第一种情况进行讨论． ⑵ 求B追上细杆时?与?的关系．
设B经过时间t后与细杆在D处相碰（见图1），则有
1 ① BD?atan??gt2
2 ② ???t
如给定?的值，由此二式可求出相应的?的值．
由于杆长L的限制，要发生碰撞，?值必须满足一定条件，由图1可知，此条件为 a ③ ?≤?m?arccos
L根据这一条件和???曲线，可以求出相应的?的取值应符合的条件． g?g?2?由式①，②消去t得??或?? 2a2atan?tan?2 ④
知识点睛
2． 变换参考系．很多物理量在变换参考系的时候会有奇怪的性质发生．常见的有，位移，速度．变换到某些参考系之后，有的非圆周运动变成了圆周运动；某些不规则运动变成了竖直或者水平的运动．从而可以迅速解题．
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例题精讲
【例5】 曲杆传动算得上机械史上一项伟大的发明，如图是汽缸中曲柄传动的应用，其变往复运动为
圆周运动，现在把这个实物简化为右图的模型，设汽缸正以速度v向下运动，角度如图所示，圆盘的半径为r，计算圆盘转动的角速度?。
【解析】 ?rcos(90????)?vcos?
0
所以??vcos?
rsin(???)
【例6】 缠在线轴上的线绕过滑轮B后，以恒定速度v0被拉出，如图所示，
这时线轴沿水平面无滑动滚动，求线轴中心点O的速度随线与水平方向的夹角?的变化关系（线轴的内、外半径分别为r和R）．
【解析】 线轴的运动可以看作是速度为v的平动和角速度为?的转动的合成，而且因为线轴不沿水平
v面滑动，有?? ①
R而A点速度沿线方向的投影为?r?vcos??v0 ②
v0R由①②得v?．
r?Rcos?
【例7】 如图所示装置，设杆OA以角速度?绕O转动，其A端则系以绕过滑轮B的绳，绳子的末端
挂一重物M．已知OB?h，当?OBA??时，求物体M的速度．
【解析】 如右图所示，设?BAO?90???，A点绕O轴转动的速度vA可表示为
vA???OA．
将vA分别为沿BA方向的速度vM（因A点与绳系在一起，故vA有一分速度vM）和与vM垂直的速度v?，则vM?vAcos?．
在△ABO中，由正弦定理得
hOAh??．
sin?90????sin?cos?由此得vM??hsin?，此即物体M的速度（绳上各点沿绳方向的速度大小均与物体M的速度大小相同）．
解法二：
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2013暑期高一物理竞赛讲义第5讲.教师版
