2024年北京市中考数学试卷及答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
说明：第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为
660.439′104.39′10 （A） （B）
534.39′10439′10 （C） （D）
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
（A） （B） （C） （D） 3．正十边形的外角和为
（A）180 （B）360 （C）720 （D）1440
4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为 （A）-3 （B）-2 （C）-1 （D）1 5．已知锐角∠AOB 如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半
CPMA径作，交射线OB于点D，连接CD；
ODNB 1
Q（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
于点M，N；
（A）∠COM=∠COD （B）若OM=MN，则∠AOB=20° （C）MN∥CD （D）MN=3CD
?2m?n1?22??m?n???2?m?mnm?6．如果m?n?1，那么代数式?的值为
（A）?3 （B）?1 （C）1 （D）3
11?7．用三个不等式a?b，ab?0，ab中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分． 人数 学生类别 时间 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 性别 学段 男 女 7 8 31 29 25 25 26 36 30 32 44 4 8 11 初中 高中 2
人均参加公益劳动时间/小时30252015105024.525.527.021.8男生女生初中生高中生学生类别
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）
x?19．若分式x的值为0，则x的值为______.
10．如图，已知!ABC，通过测量、计算得!ABC的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
3
CP①长方体②圆柱③圆锥AB第10题图A第12题图B第11题图
12．如图所示的网格是正方形网格，则?PAB＋?PBA＝__________°（点A，B，P是网格线交点）.
k1y?a，ba?0，b?0xOy????x上．点A13．在平面直角坐标系中，点A在双曲线关于x轴的对称点B在双曲线
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
y?k2x上，则k1?k2的值为______.
51图1图2图3
2s15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差0．在计算平均数
的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，?4，
222sss______0. (填“?”9，?5．记这组新数据的方差为1，则1，“?”或“?”)
16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
4
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． 所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
1?10?3??4????2sin60?（）4. 17．计算：
?4(x?1)?x?2,??x?7?x.?18．解不等式组：?3
2x19．关于x的方程?2x?2m?1?0有实数根，且m为正整数，求m的值及此
时方程的根．
20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，
BAEFDC 5
1若BD=4，tanG=2，求AO的长．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
频数（国家个数）129862130405060708090100国家创新指数得分
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
6
国家创新指数得分1009080706050403001234567891011人均国内生产总值/万元CAl1Bl2
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2024）》） 根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为
______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； ②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，
7
C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，?ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DE?BA，垂足为E，作DF?BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
AB
C
23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有xi首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i?1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 x1 x2 第1组 x1 第2组 第3组 第4组 x2 x1 x2 x4 x4 x4 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
8
解答下列问题： （1）填入x3补全上表；
（2）若x1?4，x2?3，x3?4，则x4的所有可能取值为_________； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
24．如图，P是
与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
上一动点，连
接PC交弦AB于点D．
CADPB
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在
上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长
度 的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 3.30 2.69 3.07 2.00 2.70 1.36 2.25 0.96 2.25 1.13 2.64 2.00 2.83 2.83 PC/cm 3.44 PD/cm 3.44 9
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和
______的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
y/cm654321O123456x/cm
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．
25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y?kx?1?k?0?与直线x?k，直线y??k分别交于点A，B，直线x?k与直线y??k交于点C． （1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k?2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
10
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y=ax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A
向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；
11P(,-)（3）已知点2a，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
OH?3?1，27．已知?AOB?30?，H为射线OA上一定点，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足?OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150?，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：?OMP??OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的
11
点M总有ON=QP，并证明．
BBOH图1AOH备用图A
28．在△ABC中，D，E分别是!ABC两边的中点，如果的内部或边上，则称弧．
为△ABC的中内弧．例如，下图中
上的所有点都在△ABC是△ABC的一条中内
ADBEC
（1）如图，在Rt△ABC中，AB?AC?22，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧
，并直接写出此时
的长；
ADBEC
12
（2）在平面直角坐标系中，已知点A?0,2?，B?0,0?，C?4t,0??t?0?，在△ABC中，
D，E分别是AB，AC的中点．
t?12，求△ABC的中内弧
①若
所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ，使得
所在圆的圆心P在△ABC的内部
②若在△ABC中存在一条中内弧或边上，直接写出
t的取值范围．
13
参考答案
一. 选择题.
1 C； 2 C ；3 B ；4 A ；5 D； 6 D； 7 D ；8 C。 二. 填空题.
9. 1 10. 测量可知 11. 13. 0 14. 12 15. = 16. ①②③ 三. 解答题. 17．23+3 18． x?2
19. m=1，此方程的根为x1?x2?1 20.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF
∴AB?BE?AD?DF ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形 ∵AC平分∠BAD ∴AC⊥EF （2）AO =1. 21. （1）17
14
①② 12. 45° （2）
（3）2.7 （4）①② 22.（1） ∵BD平分?ABC ∴?ABD??CBD ∴AD=CD
（2）直线DE与图形G的公共点个数为1. 23．（1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 x3 第1组 第2组 第3组 第4组 （2）4，5，6 （3）23
x3 x3 15
24．（1）AD， PC，PD； （2）
（3）2.29或者3.98 25.（1）?0,1? （2）①6个
②?1?k?0或k??2
26.（1）B(2,-1a)； （2）直线x=1；
1（3）
a≤-２． 27.
（1）见图
16
（2）
在△OPM中，?OMP=180???POM??OPM?150???OPM
?OPN??MPN??OPM?150???OPM ??OMP??OPN （3）OP=2. 28.（1）如图：
A DE B C
l?n?r180?180?1180??
（2） ①y?1P?1或
yP2；
②0?t?2
17
2024年北京市中考数学试题及答案
