第九章 解析几何
高考中解析几何问题的热点题型
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．
热点一 圆锥曲线中的定点、
定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
[考查角度一] 圆锥曲线中的定点问题
[典题1] 已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
1
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
2(1)[解] 因为抛物线y＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)， 所以＝1，所以p＝2.
2所以抛物线C的方程为y＝4x.
(2)[证明] ①当直线AB的斜率不存在时，
22
2
p?t??t?设A?，t?，B?，－t?. ?4??4?
1因为直线OA，OB的斜率之积为－，
2所以2·4
22
tt－t1＝－， t224
化简得t＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)， 此时直线AB的方程为x＝8. ②当直线AB的斜率存在时，
设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
2
??y＝4x，联立得?
?y＝kx＋b，?
2
2
化简得ky－4y＋4b＝0.
4b根据根与系数的关系得yAyB＝，
k1
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
2
yAyB1所以·＝－，
xAxB2
即xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，
44解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 4b所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
y2y2ABk所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)． 综上所述，直线AB过定点(8,0)．
定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
x2y2
[2017·河南洛阳模拟]设M是焦距为2的椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)上一点，A，B是椭
ab1
圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－. 2
(1)求椭圆E的方程；
x2y2x0xy0y(2)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)在点N(x0，y0)处的切线方程为2＋2＝1.若P是直线
ababx＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出
该定点坐标．
解：(1)由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)， 1
设M(x，y)，∵k1k2＝－，
2
1y1
∴·＝－，即22＝－. x＋ax－a2x－a2
yy2
x2y2
∵M(x，y)在椭圆E上，∴2＋2＝1，
ab∴
?x?b?1－2??a?
22
2
2
1＝－，
x－a2
b2122
∴2＝，∴a＝2b. a2
又a－b＝c＝1， ∴a＝2，b＝1.
∴椭圆E的方程为＋y＝1.
2
(2)设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)． 则切线方程分别为
2
2
2
2
2
x2
2
x1x2
＋y1y＝1，
x2x2
＋y2y＝1.
∵两切线均过点P， ∴
2x12x2
＋ty1＝1，＋ty2＝1， 22
即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1， ∴直线CD的方程为x＋ty＝1.
对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)． [考查角度二] 圆锥曲线中的定值问题
[典题2] 如图，已知抛物线C：x＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
2
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|－|MN1|为定值，并求此定值．
(1)[证明] 依题意，设直线AB的方程为y＝kx＋2， 代入x＝4y，得x＝4(kx＋2)， 即x－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8， 直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2.
2
2
22
2
y1
x1
解得交点D的坐标为?x2，
2
??
y1x2?
， x1??
注意到x1x2＝－8及x1＝4y1， 则有y＝
y1x1x2－8y1
＝＝－2. x24y11
因此点D在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)[解] 依题意知，切线l的斜率存在且不等于0， 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，
代入x＝4y得x＝4(ax＋b)，即x－4ax－4b＝0， 由Δ＝0得(4a)＋16b＝0，化简整理得b＝－a. 故切线l的方程可写为y＝ax－a.
2
2
2
2
2
2
?2??2?分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N1?＋a，2?，N2?－＋a，－2?，
?a?
?a?
?2?22?2?222
则|MN2|－|MN1|＝?－a?＋4－?＋a?＝8，
aa?
?
?
?
即|MN2|－|MN1|为定值8.
2
2
1．解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤
第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值． 第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论． 2．求定值问题常见的两种方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
x2y2
[2017·江西南昌二中月考]已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
ab心率为
21
，直线l与椭圆相交于A，B两点，且满足|AF1|＋|AF2|＝42，kOA·kOB＝－，O为22
坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：△OAB的面积为定值． (1)解：由椭圆的离心率为
2c2
，可得＝，即a＝2c. 2a2
又2a＝|AF1|＋|AF2|＝42， ∴a＝22，c＝2，b＝4， ∴椭圆方程为＋＝1.
84
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
2
x2y2
y＝kx＋m，??22联立?xy＋＝1，??84
2
2
整理得(1＋2k)x＋4mkx＋2m－8＝0，
2
Δ＝8(8k2－m2＋4)>0，
－4km2m－8
x1＋x2＝2，x1·x2＝2，
1＋2k1＋2k1
又kOA·kOB＝－，
2
1m－4
∴y1·y2＝－x1·x2＝－2，
21＋2k22
m2－8k2
又y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝2，
1＋2km2－8k2m2－422∴2＝－2，即4k＋2＝m. 1＋2k1＋2k设原点到直线AB的距离为d， 1
则S△OAB＝|AB|d
2＝
1|m|2
1＋k|x1－x2|· 221＋k64k2
|m|＝
2
2
m2
2
16－
m2－4
m2
＝24k－m＋4＝22.
当直线斜率不存在时，有A(2，2)，B(2，－2)，d＝2，
S△OAB＝×2×22＝22.
故△OAB的面积为定值22.
热点二 圆锥曲线中的最值、
范围问题
12
（课标通用）高考数学一轮复习第九章解析几何大题冲关理
