1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线f(x)?x在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(?n,0),则limf(?n)? .
n??n(2)
lnx?1?x2dx? .
(3) 差分方程2yt?1?10yt?5t?0的通解为 . ?100???*(4) 设矩阵A,B满足ABA?2BA?8E,其中A?0?20,E为单位矩阵,A*为A????001??的伴随矩阵,则B? .
(5) 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N0,22的简单随机样本,X?a?X1?2X2??
??2b?3X3?4X4?.则当a? ,b? 时,统计量X服从?2分布,
其自由度为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
2f?1??f?1?x???1,则曲线(1) 设周期函数f?x?在???,???内可导,周期为4.又limx?02xy?f?x?在点?5,f?5??处的切线的斜率为 ( ) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?2 21?x(2) 设函数f?x??lim,讨论函数f?x?的间断点,其结论为 ( )
n??1?x2n(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点x?1 (C) 存在间断点x?0 (D) 存在间断点x??1
(A)
??x1?x2??2x3?0,?(3) 齐次线性方程组?x1??x2?x3?0,的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵B?0使得
?x?x??x?03?12AB?0,则 ( )
(A) ???2且|B|?0 (B) ???2且|B|?0
(C) ??1且|B|?0 (D) ??1且|B|?0 (4) 设n?n?3?阶矩阵
1
?1?a?A??a????aa1aaaa1aa?a??a?, ??1??11 (C) ?1 (D) 1?nn?1若矩阵A的秩为n?1,则a必为 ( ) (A) 1 (B)
(5) 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F?x??aF1(x)?bF2(x)
是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )
3222,b?? (B) a?,b? 55331313(C) a??,b? (D) a?,b??
2222(A) a?
三、(本题满分5分)
设z?(x?y)e22?arctanyx?2z,求dz与.
?x?y
四、(本题满分5分)
设D???x,y?x2?y2?x,求??xdxdy.
D?
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t?0)就售出,总收入为R0(元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为R?R0e2t5.假定银行的年利率为r,并以连续
复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r?0.06时的t值.
六、(本题满分6分)
设函数f(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内可导,且f?(x)?0.试证存在?,??(a,b),使得
f?(?)eb?ea????e. ?f(?)b?a
七、(本题满分6分)
设有两条抛物线y?nx?2112和y?(n?1)x?,记它们交点的横坐标的绝对值为nn?1an.
2
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn； (2) 求级数
Sn的和. ?an?1n?
八、(本题满分7分)
设函数f(x)在[1,??)上连续.若由曲线y?f(x),直线x?1,x?t(t?1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为
V(t)??2?tf(t)?f(1)?. ??3x?2试求y?f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y
九、(本题满分9分)
设向量??(a1,a2,?2的解. 9,an)T,??(b1,b2,,bn)T都是非零向量,且满足条件?T??0.记
n矩阵A???T.求：
(1) A2；
(2) 矩阵A的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
?101?2设矩阵A??020?,矩阵B?(kE?A),其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵
????101???,使B与?相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p；
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
3
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】
1 en【解析】曲线y?x在点(1,1)处的切线斜率y?x?1?x???nx?1?nxn?1x?1?n,根据点斜
式,切线方程为：
y?1?n(x?1).
11,即在x轴上的截距为?n?1?, nn11?x?11limf(?n)?lim?nn?lim(1?)n?lim(1?)?????.
n??n??x??n??nxelnx(2)【答案】??C
x
令y?0,代入y?1?n(x?1),则x?1?【解析】由分部积分公式,
lnx?1?1??1????lnx?1ddx??lnx?1dx?????? ????x2?x?x????分部??lnx?11lnx?11??d(lnx?1)????2dx xxxxlnx?11lnxlnx?1?1????C???C. ??????dx??xxxx?x?【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx,或者?udv?uv??vdu.
(3)【答案】yt?C(?5)?t51(t?) 1265t,其齐次方程对应的特征方程及2【解析】首先把差分方程改写成标准形式yt?1?5yt?特征根分别为
r?5?0,r??5,
t故齐次方程的通解为Yt?C(?5),C为常数.
将方程右边的
55t改写成t?1t,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为
22yt??At?B,
?从而yt?1?A(t?1)?B,代入原方程,得
4
5A(t?1)?B?5(At?B)?t,
256A?,A?6B?0,
255故 A?,B??.
127251?t于是通解为 yt?Yt?yt?C(?5)?(t?).
126?200?(4)【答案】?0?40?
????002??【解析】由题设 ABA?2BA?8E,
由于A??2?0,所以A可逆.上式两边左乘A,右乘A?1,得
*AA*BAA?1?2ABAA?1?8AA?1
AB?2AB?8E(利用公式：AA?AE,AA?E) AB?2AB??8E(移项)
*?1?AE?2A?B??8E(矩阵乘法的运算法则)
将A??2代入上式,整理得
1?E?A?B?E. 4由矩阵可逆的定义,知E?A,B均可逆,且
?200??1?B?1?4?E?A??4?0?10????002??(5)【答案】
?1?1?2??4?0??0??0??200???.
0?40?10?????002?1????0?2?011,,2 201002【解析】由于X1,X2,X3,X4相互独立,均服从N(0,2),所以由数学期望和方差的性质,得
E(X1?2X2)?0,D(X1?2X2)?1?22?22?22?20,
所以(X1?2X2)N(0,20),同理(3X3?4X4)N(0,100).
又因为(X1?2X2)与(3X3?4X4)相互独立,且
5
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