2015-2016学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（ ） A．{2，3} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 2．函数f（x）=2tan（2x+A．
B．
C．π D．2π
）的最小正周期为（ ）
3．已知向量=（3，1），=（2，4），则向量=（ ） A．（5，5） B．（6，4） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
4．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把y=sinx图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位
5．已知cosα=，则sin（A． B．﹣C．﹣6．
﹣
+α）=（ ） D．
=（ ）
A．lgB．1 C．﹣1 D．lg
7．已知向量=（3，4），=（1，﹣2），若⊥（+t），则实数t的值为（ ） A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5 8．已知tan（π﹣α）=﹣2，则A．﹣3 B．﹣C． D．3
9．已知0＜a＜1，f（x）=ax，g（x）=logax，h（x）=，当x＞1时，则有（ ） A．f（x）＜g（x）＜h（x） B．g（x）＜f（x）＜h（x） C．g（x）＜h（x）＜f（x） D．h（x）＜g（x）＜f（x） 10．已知函数f（x）=
，则f（﹣）+f（）=（ ） =（ ）
A．3 B．5 C． D．
11．函数f（x）=ln（﹣x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，满足||=2，|+|=2，|﹣|=2A．
B．
C．
D．
，则向量与的夹角为（ ）
13．已知函数f（x）=|log0.5x|，若正实数m，n（m＜n）满足f（m）=f（n），且f（x）在区间[m2，n]上的最大值为4，则n﹣m=（ ） A． B．
C．
D．
14．已知函数f（x）=a?（）x+bx2+cx（α∈R，b≠0，c∈R），若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则实数c的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4]C．（0，4]D．[0，4）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分.、共18分.
15．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）= ．
16．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+1，则f（﹣2）= ． 17．已知点O为△ABC内一点，满足++=，则△AOB与△ABC的面积之比是 ．
18．函数f（x）=log3（x﹣1）+log3（3﹣x）的单调递增区间为 ． 19．已知θ∈（
，
y同时满足），若存在实数x，
=
，
+
=，则tanθ的值为 ．
+e﹣|x﹣1|，有下列四个结论：
20．已知函数f（x）=sin
①图象关于直线x=1对称； ②f（x）的最大值是2； ③f（x）的最大值是﹣1，；
④f（x）在区间[﹣2015，2015]上有2015个零点．
其中正确的结论是 （写出所有正确的结论序号）．
三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．已知函数f（x）=2x，x∈（0，2）的值域为A，函数g（x）=log2（x﹣2a）+（a＜1）的定义域为B． （Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若B?A，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为π，且它的图象过点（
，）．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间． 23．已知函数f（x）=x2+4[sin（θ+
）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．
（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；
（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，求θ的取值范围．
24．如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足（Ⅰ）若λ=，用向量（Ⅱ）若|
|=4，|
，
表示
；
?
的取值范围．
=λ．
|=3，且∠AOB=60°，求
25．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b，x∈[0，1]． （Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a； （Ⅲ）证明：f（x）+|2a﹣b|+a≥0．
2015-2016学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（ ） A．{2，3} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} 【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合交集的定义，列举出集合A、B的全部元素组成集合，即可得答案． 【解答】解：根据题意，A={1，2，3}，B={2，3，4}， 集合A、B的公共元素为2，3．则A∩B={2，3}． 故选A．
2．函数f（x）=2tan（2x+A．
B．
C．π D．2π
）的最小正周期为（ ）
【考点】正切函数的图象．
【分析】根据正切函数的周期公式进行求解即可． 【解答】解：函数的周期T=
，
故选：B．
3．已知向量=（3，1），=（2，4），则向量=（ ） A．（5，5） B．（6，4） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3） 【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据向量的坐标加减的运算法则计算即可． 【解答】解：向量=（3，1），=（2，4），
则向量=﹣=（2，4）﹣（3，1）=（﹣1，3）， 故选：C．
4．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把y=sinx图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+），只是横坐标由x变为x+，
∴要得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A．
5．已知cosα=，则sin（A． B．﹣C．﹣
+α）=（ ） D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结果． 【解答】解：∵cosα=，则sin（故选：A． 6．
﹣
=（ ） +α）=cosα=，
A．lgB．1 C．﹣1 D．lg 【考点】对数的运算性质．
【分析】判断lg2﹣1的符号化简． 【解答】解：
﹣
=lg5﹣1﹣（1﹣lg2）=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．
故选：C．
7．已知向量=（3，4），=（1，﹣2），若⊥（+t），则实数t的值为（ ） A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可． 【解答】解：∵=（3，4），=（1，﹣2）， ∴+t=（3+t，4﹣2t）， ∵⊥（+t）， ∴?（+t）=0，
∴3（3+t）+4（4﹣2t）=0， ∴t=5， 故选：D．
8．已知tan（π﹣α）=﹣2，则A．﹣3 B．﹣C． D．3
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式及已知可得tanα=2，利用同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．
=（ ）
【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，可得：tanα=2， ∴
=
=
=3．
故选：D．
9．已知0＜a＜1，f（x）=ax，g（x）=logax，h（x）=，当x＞1时，则有（ ） A．f（x）＜g（x）＜h（x） B．g（x）＜f（x）＜h（x） C．g（x）＜h（x）＜f（x） D．h（x）＜g（x）＜f（x）
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．
【分析】由题意和三个函数的单调性可得函数的值域，比较可得． 【解答】解：∵0＜a＜1，∴f（x）=ax在R上单调递减， ∴当x＞1时，f（x）＜f（1）=a＜1， 结合指数函数的值域可得f（x）∈（0，1）； 同理∵0＜a＜1，∴g（x）=logax在（0，+∞）上单调递减， ∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
结合对数函数的值域可得g（x）∈（﹣∞，0）； 又∴h（x）=在[0，+∞）上单调递增， ∴当x＞1时，g（x）＞h（1）=1， 故g（x）＜f（x）＜h（x）， 故选：B．
10．已知函数f（x）=
，则f（﹣）+f（）=（ A．3 B．5 C． D．
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵函数f（x）=
，
∴f（﹣）=f（）﹣1=﹣1=1，
f（）=
=2，
∴f（﹣）+f（）=1+2=3． 故选：A．
11．函数f（x）=ln（﹣x）的图象大致为（ ）
）A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】求出函数的定义域，求出函数的单调性即可判断． 【解答】解：∵﹣x＞0，即
＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1，
设t=﹣x， 则t′=﹣
﹣1＜0，
∴t在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数， ∵y=lnx为增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数， 故选：B
12．已知向量，满足||=2，|+|=2，|﹣|=2A．
B．
C．
D．
，则向量与的夹角为（ ）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可 【解答】解：设与∵||=2，|+|=2，|∴|+|2=||2+||2+2|﹣|2=||2+||2﹣2∴?=﹣4，||=2∴cosθ=∵0≤θ≤π， ∴θ=
，
=
的夹角为θ， ﹣|=2， ?=4， ?=20，
=﹣
，
故选：C．
13．已知函数f（x）=|log0.5x|，若正实数m，n（m＜n）满足f（m）=f（n），且f（x）在区间[m2，n]上的最大值为4，则n﹣m=（ ） A． B．
C．
D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由已知和对数的性质可得0＜m＜1＜n，且mn=1，再由最大值为4可得m=或n=16，分别解另一个值验证可得．
【解答】解：∵f（x）=|log0.5x|，正实数m，n（m＜n）满足f（m）=f（n）， ∴0＜m＜1＜n，且|log0.5m|=|log0.5n|，∴log0.5m=﹣log0.5n， ∴log0.5m+log0.5n=0，解得mn=1，
又∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为4，
∴|log0.5m2|=4或|log0.5n|=4，即log0.5m2=4或log0.5n=﹣4， 解得m=或n=16，当m=时，由mn=1可得n=4，此时n﹣m=当n=16时，由mn=1可得m=故选：B．
14．已知函数f（x）=a?（）x+bx2+cx（α∈R，b≠0，c∈R），若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则实数c的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4]C．（0，4]D．[0，4） 【考点】函数的零点与方程根的关系．
=0}={x|f=0}，=0，=bx2+cx；【分析】设x1∈{x|f（x）（f（x））从而可推出f（0）从而化简f（x）
从而可得（bx2+cx）（b2x2+bcx+c）=0与bx2+cx=0的根相同，从而解得． 【解答】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， 则f（x1）=0，且f（f（x1））=0， ∴f（0）=0，即a（）x=0 ∴a=0；
故f（x）=bx2+cx；
由f（x）=0得，x=0或x=﹣；
f（f（x））=b（bx2+cx）2+c（bx2+cx）=0， 整理得：（bx2+cx）（b2x2+bcx+c）=0， 当c=0时，显然成立；
当c≠0时，方程b2x2+bcx+c=0无根， 故△=（bc）2﹣4b2c＜0， 解得，0＜c＜4． 综上所述，0≤c＜4， 故答案选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分.、共18分.
15．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）= x﹣1 ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出f（x）的解析式． 【解答】解：设幂函数y=f（x）=xa，
，这与m＜n矛盾，应舍去．
；
其图象经过点（3，）， ∴3a=，解得a=﹣1； ∴f（x）=x﹣1． 故答案为：x﹣1．
16．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+1，则f（﹣2）= ﹣9 ． 【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用奇函数的性质即可求出．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=x3+1， ∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（23+1）=﹣9． 故答案为：﹣9．
17．已知点O为△ABC内一点，满足 ．
【考点】向量的加法及其几何意义． 【分析】可作图，取AB中点D，从而有D，O，C三点共线，且得到
，这样即可得出
，从而有
+
+
=，则△AOB与△ABC的面积之比是 ，这样便可得出△AOB与△ABC的面积之比．
；
【解答】解：如图，取AB中点D，则：∴由得，； ∴
；
；
∴D，O，C三点共线，且OD=
∴△AOB与△ABC的面积之比是． 故答案为：．
18．函数f（x）=log3（x﹣1）+log3（3﹣x）的单调递增区间为 （1，2） ． 【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性判断即可． 【解答】解：∵f（x）=log3（x﹣1）+log3（3﹣x），
∴函数的定义域是：（1，3）， f（x）=
的递减区间即函数y=﹣x2+4x﹣3在（1，3）上的递减区间，
y′=﹣2x+4，令y′＞0，解得：x＜2，
∴函数y=﹣x2+4x﹣3在（1，2）上的递增， ∴函数f（x）在（1，2）递增， 故答案为：（1，2）．
19．已知θ∈（
，
y同时满足），若存在实数x，
=
，
+
=，则tanθ的值为 ．
【考点】二维形式的柯西不等式． 【分析】设
=
=t，cosθ的值，求出sinθ、代人另一式化简，再由sin2θ+cos2θ=1，
=得出方程tan2θ+
求出+=；利用tanθ=
=，求出方程的解，再考
虑θ∈（，），从而确定tanθ的值．
=
=t，
【解答】解：设则sinθ=ty，cosθ=tx， 所以
+
=可化为：
+=①；
又sin2θ+cos2θ=t2x2+t2y2=1， 得t2=
②；
把②代入①，化简得+=③；
又tanθ==，
=，
所以③式化为tan2θ+解得tan2θ=2或tan2θ=；
所以tanθ=±又θ∈（
，
或tanθ=±
），
；
所以tanθ＞1，
所以取tanθ=． 故答案为：．
20．已知函数f（x）=sin
+e﹣|x﹣1|，有下列四个结论：
①图象关于直线x=1对称； ②f（x）的最大值是2； ③f（x）的最大值是﹣1，；
④f（x）在区间[﹣2015，2015]上有2015个零点．
其中正确的结论是 ①②④ （写出所有正确的结论序号）． 【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的性质一一判断即可． 【解答】解：对于①，∵y=sin
，关于x=1对称，y=e﹣|x﹣1|关于x=1对称，∴f（x）图
象关于直线x=1对称，故①正确， 对于②，∵﹣1≤sin
≤1，0＜e﹣|x﹣1|≤1，∴f（x）的最大值是2，故②正确，③不正确，
对于④，∵y=sin的周期为T==4，由①知，关于x=1对称，每个周期内都有两个
零点，故有2015个零点，故④正确．
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．已知函数f（x）=2x，x∈（0，2）的值域为A，函数g（x）=log2（x﹣2a）+＜1）的定义域为B． （Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若B?A，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；函数的定义域及其求法． 【分析】（Ⅰ）根据指数函数以及对数函数的性质解出即可； （2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）已知函数f（x）=2x，x∈（0，2）的值域为A， ∴A=（1，4），
函数g（x）=log2（x﹣2a）+（a＜1）的定义域为B． ∴B=（2a，a+1），a＜1，
（Ⅱ）若B?A，则（2a，a+1）?（1，4），
（a
∴，解得：≤a＜1．
22．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为π，且它的图象过点（
，）．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间． 【考点】余弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．
（Ⅱ）根据函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求出函数y=f（x）的单调增区间． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为π， ∴
=π，∴ω=2．
，），∴cos（
+φ）=，∴）， ≤x≤kπ+，kπ+
， ]，k∈Z．
+φ=﹣
，∴φ=﹣
．
∵它的图象过点（
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=cos（2x﹣令2kπ﹣π≤2x﹣
≤2kπ，求得kπ﹣
∴函数y=f（x）的单调增区间为[kπ﹣
23．已知函数f（x）=x2+4[sin（θ+
）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．
（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；
（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，求θ的取值范围． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的判断． 【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可． （Ⅱ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）， 则x2+4[sin（θ+则sin（θ+
）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+
）]x﹣2，
）=0，
∵θ∈[0，2π]， ∴θ+即θ=﹣
=kπ， +kπ，
+kπ）=﹣
．
）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．
∴tanθ=tan（﹣
（Ⅱ）∵f（x）=x2+4[sin（θ+∴对称轴为x=﹣2sin（θ+若f（x）在[﹣则﹣2sin（θ+即sin（θ+即2kπ+即2kπ+
），
，1]上是单调函数， ）≥1或﹣2sin（θ+
）≤
， ≤θ+
≤2kπ+
，k∈Z，
，
）≥≤θ+
或sin（θ+≤2kπ+
）≤
，或2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+
≤θ≤2kπ+，k∈Z，
∵θ∈[0，2π]， ∴
≤θ≤
，或0≤θ≤
．
24．如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足（Ⅰ）若λ=，用向量（Ⅱ）若|
|=4，|
，
表示
；
?
的取值范围．
=λ．
|=3，且∠AOB=60°，求
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义． 【分析】（Ⅰ）根据向量的加减的几何意义，即可求出； （Ⅱ）根据向量的加减的几何意义，得到【解答】解：（Ⅰ）∵λ=，
=3﹣
，即可求出
?
的取值范围．
则∴∴则
=﹣==
， =（++
﹣， ，
， ，
），
（Ⅱ）∵?=||?||cos60°=6， =λ
∴﹣=λ（﹣），（1+λ）=+λ∴∴?
==
=（
+
+
=，
）（
﹣
）=﹣
2
+
2
+（﹣）
=3﹣
∵λ＞0， ∴3﹣
∈（﹣10，3），
∴?的取值范围为（﹣10，3）．
25．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b，x∈[0，1]． （Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a； （Ⅲ）证明：f（x）+|2a﹣b|+a≥0．
【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质． 【分析】（Ⅰ）求出当a=b=2时，f（x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（x）的最大值；
（Ⅱ）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值；
（Ⅲ）要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，只需证f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明M+m＞0． 【解答】解：（Ⅰ）当a=b=2时，f（x）=8x2﹣4x，x∈[0，1]． 对称轴为x=，f（0）=0，f（1）=4， 可得f（x）的最大值为4； （Ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=当
＞1时，区间[0，1]为减区间，
，
可得f（x）的最大值为f（0）=b﹣a，
由b＞4a＞2a，可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a， 则f（0）=|2a﹣b|+a；
当＜0时，区间[0，1]为增区间，
可得最大值为f（1）=3a﹣b，
由b＜0，可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f（1）； 当0≤
≤1时，区间[0，
]为减区间，[
，1]为增区间，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a﹣b=|2a﹣b|+a； 若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值为f（0）=b﹣a=|2a﹣b|+a． 综上可得函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a；
（Ⅲ）证明：要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，
只需证f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，
设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a， 由f（x）的对称轴为x=当
，
＞1时，区间[0，1]为减区间，可得m=f（1）=3a﹣b，
则M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a＞0； 当
＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b﹣a，
M=f（1）=3a﹣b，则M+m=2a＞0； 当0≤
≤1时，区间[0，
]为减区间，[
，1]为增区间，
可得m=f（）=，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b， M+m=
≥
=a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a， M+m=
=
，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0． 综上可得M+m＞0恒成立， 即有f（x）+|2a﹣b|+a≥0．
2016年7月7日
浙江省台州市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
