第五张 刚体力学
平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受
到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.
【要点分析与总结】
1 刚体的运动
（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）
???????A???r?
a??a?d????r??????A?dt??????r??
（2）刚体内的瞬心S：r??1s?rA??2??????A? 〈析〉??为基点转动的矢量和，??????1??2??
r??r??A?r?
???dr?dt
?dr??dt?dt????d*r?Adr??dt????r???????AA???r? a??d??d????Ad???r???dt?dt?dt???????r???
值得注意的是：有转动时r??与???r??的微分，引入了???????r???项。
2 刚体的动量，角动量，动能
（1）动量：P??m??c
???r??与
?Lx???Jxx????????（2）角动量： L??ri?mi?i??Ly??J?????Jyx??J?L??zx?z??JxyJyy?Jzy?Jxz???x?????Jyz???y?
??Jzz????z? 式中：
?Jxx??y2?z2?dm??22 转动惯量??Jyy???z?x?dm
?Jzz???x2?y2?dm???Jxx?xydm?? 惯量积??Jyy??yzdm
?J?zxdm??zz?????? ?c?Lc 且L?rc?m
* el方向（以l为轴）的转动惯量：
???????????J?el?J?el???,?,??J???
??????
?Jxx?2?Jyy?2?Jzz?2?2Jyz???2Jzx???2Jxy???
（?,?,?分别为el与x,y,z轴夹角的余弦） * 惯量主轴
惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线
若X轴为惯量主轴，则含X的惯量积为0，即: Jxy?Jxz?0
???? 若x,y,z轴均为惯量主轴，则:L?Jxxi?Jyyj?Jzzk
〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。
???1111?222?? (3) 动能：T?m?c??mi?i?m?c???Jc?2222i
1211 * 平面平行运动: T?m?c2?Jc?2
22 * 定轴转动时: T?J?2
3刚体的动力学方程
与质点动力学方程相同。
?〈析〉求角动量L时，须注意：
? L?J????x????? ?J??y?
????z????? ???Jyx?x?Jyy?y?Jyz?z?j
????Jzx?x?Jzy?y?Jzz?z?k???Jxx?x?Jxy?y?Jxz?z?i4 刚体的定轴转动:
????ez ???ez????????? L?J????Jzx?i?Jyz?j?Jzz?k
T?J?2
?d2rc??e? 质心定理: m2?F
dt???e?dL 角动量定理:?M
dt12〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用 5 刚体的平面平行运动 T?m?c2?12?1J?2 2d?c??F mdtdL???Mz z?J?dt6 刚体的定点运动
（1） 基本方程（以惯量主轴为坐标轴）
???????L?J???Lxi?Lyj?Lzk
?????dLdL????L dtdt????????? ?Lxi?Lyj?Lzk???L?M
?d2rc???? 质心定理： m2?mrc?F dt 机械能守恒：
1Jxx?x2?Jyy?y2?Jzz?z2??V?E ?2?〈析〉 ?为活动坐标系绕固定坐标系的转速
?di?? 则有：???i
dt??dLxd?Lxi?如： ?dtdt??dLdi ?xi?Lx
dtdt?????Lxi?Lx??i ?????Lxi???Lx
（2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）
?????dLd?L????L?M dtdt写成分量形式：
???J?J????M?Jx?xyzyzx????J?J????M ??Jy?yzxzxy????Jz?z??Jx?Jy??x?y?Mz???0可导出 ????const可以解释地球的纬〈析〉M?0时，Jz?zz度变迁。
（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度：
?k 自旋： ??e? 进动： ???章动： ?i
?
??????k ?e???总角速度：???i?????????k ?sin?j????cos??? ??i????x?????sin?即 ??y?? ???cos?????z??由于对称；Jx?Jy?J?
?????dLdL代入 ????L
dtdt????M?lk???mge??
??mglsin?i
?x?Jx?y??cos??Jz?z??sin??mglsin??Jx????0?y?Jx?x??cos??Jz?z?可得：?J?? ???Jz?z?0???????k ?sin?j????cos???代入： ???i????? ?cos???可整理出；?
J??2J?2sin2??z?2?mglcos??E ???22???2sin2??Jz?cos??S J???2??s?Jz?cos??2J2?J??z?????mglcos?? E?222Jsin?2??????2J???U??? ?2
陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第五张_刚体力学
