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第六节 双曲线
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 图形 范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2 y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 ac2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) a，b，c的关系 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
x2y2
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
mnx2y2x2y2xy(3)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝
mnmnmn0.( )
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
x2y2
2．(教材改编)已知双曲线2－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
a3
A．2 5 2
B.6 2
C.D．1
ca2＋3
D [依题意，e＝＝＝2，
aa∴a＋3＝2a，则a＝1，a＝1.]
3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
916线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 C．5
B．9 D．3
2
2
x2y2
B [由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]
y2
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的
m＋n3m－n距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1，3) D．(0，3)
x2
A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.
??m＋n＋3m－n＝4，∴?22
?m＋n3m－n>0，?
2
2
??m＝1，
则?22
?－m 2 因此－1 x2y2 5．(2016·北京高考改编)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0， ab一个焦点为(5，0)，则双曲线的方程为__________． x2y2 x－＝1 [由于2x＋y＝0是2－2＝1的一条渐近线， 4ab2 y2 ∴＝2，即b＝2a，① 又∵双曲线的一个焦点为(5，0)，则c＝5， 由a＋b＝c，得a＋b＝5，② 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 2 2 2 2 2 ba文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 联立①②得a＝1，b＝4. ∴所求双曲线的方程为x－＝1.] 4 2 2 2 2 y2 双曲线的定义及应用 (2017·哈尔滨质检)已知双曲线x－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右 24 4 支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( ) 3 A．48 C．12 B [由双曲线的定义可得 1 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 3 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 1 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.] 2[规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用． 2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系． [变式训练1] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( ) 1A. 4C.2 4 1B. 3D.2 3B．24 D．6 y2A [由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a， ∴cos∠AF2F1＝ 4a2 ca＋2a－4a2×4a×2a22 1＝.] 4 双曲线的标准方程 x2y25 (1)(2017·广州模拟)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为ab4 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. F2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) 【导学号：】 A.－＝1 43C. －＝1 169 x2y2x2 B.－＝1 916D.－＝1 34 x2y2 y2x2y2 x2y2 (2)(2016·天津高考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条 ab渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.－y＝1 43x3yC.－＝1 205 2 2 x2 2 B．x－＝1 43x3yD.－＝1 520 2 2 2 y2 (1)C (2)A [(1)由焦点F2(5,0)知c＝5. c5222 又e＝＝，得a＝4，b＝c－a＝9. a4 ∴双曲线C的标准方程为－＝1. 169 x2y2 b1 (2)由焦距为25得c＝5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝. a2 又c＝a＋b，解得a＝2，b＝1， 所以双曲线的方程为－y＝1.] 4 [规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax＋By＝1(AB<0)． 2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)． 1 [变式训练2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝± 2 22 22 2 2 2 2 2 x2 2 x，则该双曲线的标准方程为________________． 5 (2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1 13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________． 1 (1)－y＝1 (2)－＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 41692 2 x2x2y2 ∴可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， 22 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∴λ＝16－4×(3)＝4， ∴双曲线的标准方程为－y＝1. 4 (2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8. 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. 故曲线C2的标准方程为2－2＝1，即－＝1.] 43169 双曲线的简单几何性质 2 x2 2 x2y2x2y2 x2y2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左、右焦点，点Mab1 在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( ) 3 A.2 C.3 3B. 2D．2 x2y2 (2)(2017·石家庄调研)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别 ab是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：】 b2 (1)A (2)x±y＝0 [(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝. a1 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 3tan∠MF2F1＝ 2. 4 2 2 2 |MF1|2b2c－a2所以＝，即＝，即＝， 2c42ac42ac4整理得c－ 2 2 ac－a2＝0， 2 2 2 两边同除以a得e－ 2 e－1＝0. 2 解得e＝2(负值舍去)． b??b??(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B?c，?，C?c，－?. a??a?? 因为A1B⊥A2C， 22 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. b2－a所以·＝－1，整理得a＝b. c＋ac－a因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.] [规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件． 2．双曲线中c＝a＋b，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝e－1?e＝?. a2 2 2 b2ababa2?? c? ? 抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程． [变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5 C.3 B．2 D.2 x2y2 D [不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则|BM| ab＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M点的坐标为(2a， 3a). 4a3a∵M点在双曲线上，∴2－2＝1，a＝b， 2 2 ab∴c＝2a，e＝＝2.故选D.] [思想与方法] 1．求双曲线标准方程的主要方法： (1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a，b，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论． ①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax＋By＝1(AB<0)． ②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为bx－ 22 2 2 2 2 caa2y2＝λ(λ≠0)． x2y2x2y2 ③与双曲线2－2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)． abab2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可． [易错与防范] 6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a＝b＋c，在双曲线中c＝a＋b. 2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围． 3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行． 课时分层训练(五十) 双曲线 A组 基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x－＝1 4C.－x＝1 4 22 2 2 2 2 2 y2 B.－y＝1 4D．y－＝1 4 2 x2 2 y2 2 x2 C [由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x. ∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．] abx2y2 2．(2015·湖南高考)若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的 ab离心率为( ) A.7 3 5B. 45D. 3 4C. 3 b4b216 D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴2＝. a3a9c2－a216 又b＝c－a，∴2＝， a9 2 2 2 1625522 即e－1＝，∴e＝，∴e＝.] 993 3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( ) A.－＝1(y>0) 45B.－＝1(x>0) 45 x2y2x2y2 7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. C.－＝1(y>0) 45D.－＝1(x>0) 45 y2x2y2x2 x2y2 B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为2－2＝ ab1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b＝9－4＝5. 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．] 45 4．已知F为双曲线C：x－my＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 C.3m A [由双曲线方程知a＝3m，b＝3， ∴c＝a＋b＝3m＋3. 不妨设点F为右焦点，则F(3m＋3，0)． 又双曲线的一条渐近线为x－my＝0， |3·m＋1|∴d＝＝3.] 1＋m5．(2017·成都调研)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的 3两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) A.43 3 B．23 D．43 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2y2 B．3 D．3m y2 C．6 D [由题意知，双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝ 3±23，即A，B两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.] 二、填空题 6．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________． 73210 [由双曲线的标准方程，知a＝7，b＝3，所以c＝a＋b＝10，所以c＝10，从而焦距2c＝210.] 2 2 2 2 2 y2 x2y2 x22 7．已知双曲线2－y＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝__________. 【导学 a号：】 8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3xx2 [双曲线2－y＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－33aa2 x，因为a>0，所以＝3，所以a＝.] a3 x2y2 8．(2016·山东高考)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在 abE上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 2 [如图，由题意知|AB|＝又2|AB|＝3|BC|， 2b2 ∴2×＝3×2c，即2b＝3ac， 2 13 2b2 a，|BC|＝2c. a∴2(c－a)＝3ac，两边同除以a，并整理得2e－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．] 三、解答题 9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x＋(y－5)＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点， 5025它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程. 【导学号：】 [解] 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分 2222 x2y2 22 x2y2 设双曲线G的方程为2－2＝1(a>0，b>0)， ab∴渐近线方程为bx±ay＝0且a＋b＝25，8分 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3. ∴ |5a| 2 2 b2＋a2 ＝3，得a＝3，b＝4，10分 ∴双曲线G的方程为－＝1.12分 916 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； →→ (2)求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2的面积. 【导学号：】 [解] (1)∵e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴设双曲线方程为x－y＝λ.2分 ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. 9文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 2 2 x2y2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∴双曲线方程为x－y＝6.4分 → (2)证明：∵MF1＝(－3－23，－m)， 2 2 MF2＝(23－3，－m)． →→22 ∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m＝－3＋m.6分 ∵M点在双曲线上，∴9－m＝6，即m－3＝0， →→ ∴MF1·MF2＝0.8分 (3)△F1MF2的底|F1F2|＝43. 由(2)知m＝±3.10分 ∴△F1MF2的高h＝|m|＝3， 1 ∴S△F1MF2＝×43×3＝6.12分 2 B组 能力提升 (建议用时：15分钟) 2 2 → x2y2 1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的 ab直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为 A. 5 213 2 B. 13bc，则双曲线的离心率为( ) 3 5 313 3 C.D. 2bc12bc13bcc13 D [由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此ea2a3a3＝ 13 .] 3 x2y2 2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且 ab双曲线的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为__________． 2 2 bx－＝1 [由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切， 3a2 y2 ∴ |2b| a＋b22＝3，则b＝3a.① 22 又双曲线的一个焦点为F(2,0)， ∴a＋b＝4，② 2 2 10文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 联立①②，解得a＝1，b＝3. 故所求双曲线的方程为x－＝1.] 3 3．已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而 4 2 2 2 y2 x2 2 C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程； →→ (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围. 【导学号：】 x2y22222 [解] (1)设双曲线C2的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则a＝3，c＝4，再由a＋b＝ abc2，得b2＝1.4分 故C2的方程为－y＝1.5分 3(2)将y＝kx＋2代入－y＝1， 3得(1－3k)x－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 122 ∴k≠且k<1.① 3设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 62k9 则x1＋x2＝2，x1x2＝－2.8分 1－3k1－3k∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) 3k＋7 ＝(k＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝2. 3k－1 2 2 2 2 x2 2 x2 2 →→ 又OA·OB>2，得x1x2＋y1y2>2， 3k＋7－3k＋9∴2>2，即2>0， 3k－13k－112 解得 312 由①②得 3故k的取值范围为?－1，－ 2 2 ??3??3? ?∪?，1?.12分 3??3? 11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教师用书文新人教A版
