xex?lnx?1?xx2ex?lnx令?(x)?，??(x)?xx
令h(x)?x2ex?lnx，h(x)在(0,??)单调递增，x?0,h(x)???，h(1)?e?0
2xh(x)在(0,1)存在零点x0，即h(x0)?x0e0?lnx0?0
lnx01lnx0x02x0x0e?lnx0?0?x0e???(ln)(e)……9分
x0x0由于y?1xex在(0,??)单调递增，故x0?ln11??lnx0,即ex0?x0x0
?(x)在(0,x0)减，在(x0,??)增，?(x)min所以b?2.……12分
x0ex0?lnx0?1?x01?x0?1?x0???2x0x0
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?acos?3在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P(1,)，其参数方程?（?为
y?3sin?2?参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线l交E于点A，B，且OA?OB，求证：定值.
【解析】(I)将点P(1,)代入曲线E的方程，
11为定值，并求出这个?22|OA||OB|32?1?acos?,?2得?3解得a?4，……2分
?3sin?,??2x2y2??1, 所以曲线E的普通方程为
43极坐标方程为?(cos2142??sin2?)?1.……5分
13(Ⅱ)不妨设点A,B的极坐标分别为
A(?1，?)，B(?2，??)，?1?0，?2?0,2
?122?122(?cos???1sin?)?1,??413则??(1?2cos2(???)?1?2sin2(???)?1,22?232?4
12?112?cos??sin?,??243?1即?……8分
11122??sin??cos?,2?3??241?1223.
?12?2?117117????,即……10分
4312|OA|2|OB|212[选修4-5不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)?|x?1|?|2x?1|?m. （1）求不等式f(x)?m的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)?0，求m的取值范围. 【解析】(I)由f?x??m，得，
1)?(2x＋1)，……3分 不等式两边同时平方，得(x－即3x(x?2)?0，解得?2?x?0.
所以不等式f?x??m的解集为{x|?2?x?0}．……5分
(Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|
221?x?2,x??,?2?1?g(x)???3x,??x?1,2???x?2,x?1,??
……8分
f?n??0?g(n)??m因为g(?2)?g(0)?0，g(?3)??1,g(?4)??2,g(1)??3.
又恰好存在4个不同的整数n，使得f?n??0，
所以?2??m??1.故m的取值范围为[1,2). ……10分
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理
