2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数i(2?i)对应的点的坐标为（ ） A．(1,2) 【答案】C
【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知a?3?2，b?log0.52，c?log23，则（ ） A．a?b?c 【答案】D
【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】
B．a?c?b
C．b?c?a
D．c?a?b
B．(2,1)
C．(?1,2)
D．(2,?1)
c?log23?1, ∵a?3??0,1?，b?log0.52?0, ?2∴c?a?b， 故选：D 【点睛】
本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.
x2y23．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）
abA．y??2x 【答案】B
【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b?c2?a2?3a，代入即得此双曲线的渐近线方程．
B．y??3x
C．y??2x 2D．y??3x 2ba
【详解】
x2y2解：∵双曲线C方程为：2?2?1（a＞0，b＞0）
ab∴双曲线的渐近线方程为y＝±x 又∵双曲线离心率为2，
∴c＝2a，可得b?c2?a2?3a 因此，双曲线的渐近线方程为y＝±3x 故选：B． 【点睛】
本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题． 4．在VABC中，若b?3，c?6，C=A．
? 6ba?4，则角B的大小为（ ）
B．
? 3C．
2? 3D．
2?? 或
33【答案】D
【解析】利用正弦定理即可得到结果. 【详解】 解：∵b＝3，c?6，C??4，
36bc??∴由正弦定理，可得sinB?，
sinsinBsinC4可得：sinB?3， 2∵c＜b，可得B?故选：D． 【点睛】
?3或
2?， 3本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．
5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ） A．20 【答案】C
【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.
B．40
C．60
D．120
【详解】
由题意可分成两类：
（1）一名教师和三名学生，共C133C5?30； （2）两名教师和两名学生，共C223C5?30；
故不同的选派方案的种数是30?30?60. 故选：C 【点睛】
本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 6．已知函数f(x)?ex?e?x，则f(x)（ ）
A．是奇函数，且在(0,??)上单调递增 B．是奇函数，且在(0,??)上单调递减 C．是偶函数，且在(0,??)上单调递增 D．是偶函数，且在(0,??)上单调递减
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可． 【详解】
函数f?x??ex?e?x的定义域为R，
f??x??e?x?e??x?ex?e?x? f?x?，
即f??x?? f?x?， ∴f?x? 是偶函数，
当x?0时，f?x??ex?e?x,y??ex为增函数，y?e?x为减函数， ∴f?x? 在?0,???上单调递增， 故选：C 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．
7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（
）
A．
243 B．
3 C．2 D．4
【答案】A
【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状， 结合图形，求出该三棱锥的体积． 【详解】
解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC， ∴三棱锥P﹣ABC的体积为：113?SnABC?2?3?1?2?23， 故选：A
【点睛】
本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8．设函数f(x)?x3?3x?a(a?R)，则“a?2”是“f(x)有且只有一个零点”的（ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】f(x)有且只有一个零点的充要条件为a?2,或a??2，从而作出判断. 【详解】
f（x）＝x3?3x?a，
）
f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
?1?，?1，???上单调递增，在??1,1?上单调递减， ∴f?x??x?3x?a?a?R?在???，3a, f?1???2??a, 且f??1??2??若f?x?有且只有一个零点，则a?2,或a??2
∴“a?2”是“f(x)有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】
本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.
9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是圆B上的动点，则DB?AP的最大值是（ ） A．22 【答案】D
B．42 C．4
D．8
uuuvuuuvuuuvuuuv??? DB?AP?4?4sin??,【解析】建立平面直角坐标系，圆B的方程为：x?y?2??，利用正弦型函数的性
4??22质得到最值. 【详解】
如图，建立平面直角坐标系，则B?0,0?，A?0,2?，D?2,2?， 圆B的方程为：x?y?2,∴P22?2cos?，2sin?，
?uuuvuuuv∴DB???2，?2?，AP??2cos?，2sin??2，
?uuuvuuuv???DB?AP??22cos??22sin??4?4?4sin???? ∴
4??∴sin???故选：D
????uuuvuuuv??1时，DB?AP的最大值是8， ?4?
2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版)
