高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数??1(x)=2(x+1)x-1，则f??(x)??（ ） lAn.x-2 lnB.x+22-xx+2x+2x- 2lnC. x+2lnD.2-x0t2．lim?x?e?e?t?2?dtx?01?cosx?（ ）A．0 B．1 C．-1 D．?3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（） A.?limx?0?y?0B.?y?0C.dy?0D.?y?dy4．设函数f(x)=??2x2,x?13x?1,x?1，则f(x)在点x=1处（ ）?A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导5．设?xf(x)dx=e-x2?C，则f(x)=（ ） A.xe-x2 B.-xe-x2 C.2e-x2 D.-2e-x2二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7．limn???a?aq?aq2???aqn??q?1??_________8．limarctanxx??x?_________9.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+g2800，则生产100件产品时的边际成本MCg?100?__10.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理 的点ξ是_________.11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.12.微分方程xy'?y?1?x3的通解是___________.13.设?2ln2dtaet?1??6,则a?___________.cos214.设z?xy则dz= _______.15设D??(x,y)0?x?1,0?y?1?，则??xe?2ydxdy?_____________.D三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）x16.设y???1??x??，求dy.17.求极限limlncotxx?0?lnx18.求不定积分?1?5x?1?ln?5x?1?dx.19.计算定积分I=?a0a2?x2dx.20.设方程x2y?2xz?ez?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？?22.计算定积分?xsin2xdx023.将二次积分I???dx??siny20xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。五、应用题（本题9分）24.已知曲线y?x2，求（1）曲线上当x=1时的切线方程；（2）求曲线y?x2与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx.六、证明题（本题5分）25．证明：当x>0时，xln(x?1?x)?1?x?122参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．答案：B2．答案：A3．答案：A4．答案：C5．答案：D二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）6．答案：??1,3??44??7．答案：a1?q8．答案：09．答案：1410．答案：1311．答案：（1，2）．答案：x3122?1?Cx13．答案：a?ln214．答案：?1?y??sin2xdx?cos2x?ydy??15．答案：14?1?e?2?三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）x16. 答案：??lnx?1???1??x??dx17．答案：-118．答案：25ln?5x?1??C19. 答案：?24a2xy?2zx2'20. 答案：Z?，Zy?2x?ez2x?ez'x25．证明： ?f(x)?xln(x?1?x2)?1?x2?1四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．答案：r0?3VV4V2?，h0??r2?30? 2 22．答案：?4 23. 答案：1 五、应用题（本题9分）24. 答案：（1）y=2x-1（2）112，?3031（2） 所求面积S??1y?122?y)dy???122?10(?4?y?1??3y???012所求体积V?1?x2?2dx?13???12?1???x??02?5?6?30六、证明题（本题5分）1?2x?f'(x)?ln(x?1?x2)?x21?x2xx?1?x2?1?x2?ln(x?1?x2)?xx1?x2?1?x2?ln(x?1?x2)?x?0?x?1?x2?1?f'(x)?ln(x?1?x2)?0故当x?0时f(x)单调递增，则f(x)?f(0),即xln(x?1?x2)?1?x2?1
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