1.4 充分条件与必要条件
[A 基础达标]
1．设x∈R，则“1 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.“1 2．“x≠－1”是“x－1≠0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由x－1≠0，得x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是x≠1且“x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x－1≠0”的必要不充分条件，故选B. ??x>013．“?”是“>0”的( ) xy?y>0? 2 2 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.“?1 ??x>0 1 ”?“>0”， xy??y>0 ??x>0??x<0 ?“>0”?“或?”， xy?y>0??y<0? ??x>01 所以“?”是“>0”的充分不必要条件．故选A. xy?y>0? 4．设A、B、C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 - 1 - 解析：选B.由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C， 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. 所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件． 故选B. 5．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.“a＋b>4”?“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A. 12 6．“a<”是“一元二次方程x－x＋a＝0有实数解”的________条件． 4 112 解析：若一元二次方程x－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”441 能推出“a≤”， 4 11 但“a≤”不能推出“a<”， 44 12 即“a<”是“一元二次方程x－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件． 4答案：充分不必要 7．已知p：－1 解析：由p：－1 8．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． (1)p：x>0，q：x>0. (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)≠y. (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除． (4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等． 解：(1)p：x>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)≠y，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是 2 2 2 2 2 2 p的充分条件． (3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q - 2 - 是p的必要条件． (4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 9．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的一个充要条件； (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}， (1)若A∪B＝R，则b≥－2， 故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. (2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3. (3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1. [B 能力提升] 10．已知x∈R，则“x＝x＋6”是“x＝x＋6”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由于“x＝x＋6”，则“x＝±x＋6”，故“x＝x＋6”是“x＝x＋6”的必要不充分条件，故选B. 11．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( ) A．a≥b＋1 C．a＞b 2 2 2 2 2 B．a＞b－1 D．|a|＞|b| 解析：选A.由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5?/ 4≥3.5＋1，故a＞b?/a≥b＋1，故A正确． 12．已知a＋b≠0，证明a＋b－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：先证充分性： 若a＋b＝1， 则a＋b－a－b＋2ab＝(a＋b)－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a＋b－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0， 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0， - 3 - 2 2 2 2 2 2 2 2 即a＋b＝1成立， 综上，a＋b－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 13．求关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件． 1 解：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题目要求； 2当a≠0时，方程ax＋2x＋1＝0为一元二次方程， 它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a≥0，解得a≤1. 设方程ax＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则 21 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝. 2 2 2 2 2 aaa≤1??2 ①方程ax＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是?1，解得a＜0； ＜0??a?2?－＜0 ②方程ax＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是?a，解得0＜a≤1. 1??a＞0 2 a≤1 综上所述，a≤1为所求． [C 拓展探究] 14．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由． 解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时， 若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a＋b＋c＝0”是“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件， 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 2 2 2 2 2 2 2 2 - 4 - - 5 -
高中数学1.4充分条件与必要条件人教A版必修第一册
