数系的扩充与复数的概念
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念 3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．
4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．
5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系． 一．复数的概念及代数表示 (1)复数的定义：
把集合C＝{a＋bi|a，b∈R|}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝___________．
(2)复数的代数形式：
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的___________与___________．
(3)复数集
全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝___________． 二．两个复数相等的充要条件
(1)在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是___________．
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
三．复数的分类 (1)复数a＋bi
?实数（b＝0），(a，b∈R)??纯虚数（a＝0），
?虚数（b≠0）??非纯虚数（a≠0）.
(2)集合表示：
四．复平面、实轴、虚轴
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点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点___________表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做___________，y轴叫做___________，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示___________．
五．复数的几何意义 六．复数的模
→
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|且|z|＝___________． 类型一.复数的概念
例1：请说出复数2?3i,?3?11i,?i,?3?5i的实部和虚部，有没有纯虚数？ 23练习1：复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
练习2：实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 类型二.复数相等的条件
例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
练习1：满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______. 类型三.复数的分类
例3：设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
m(m?2)练习1：已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，
m?1(1)z∈R； (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
1+4i. 2类型四.复数的几何意义
例4：复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________________．
练习1：实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是： (1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
类型五.复数的模
例5：已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ) A.-2 B.1 C.-1
2.设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，则( ) A.M∪R=I B.(?IM)∪R=I C.(?IM)∩R=R D.M∩(?IR)=?
3.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是( )
D.2
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A.以原点为圆心，以2为半径的圆 B.两个点，其坐标为(2，2)，(-2，-2)
C.以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D.以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，2)，(-2，-2)[来源:1 4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A.-2 B.3 C.-3 D.±3
5.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A.4+8i B.8+2i C.2+4i
6.已知0 B.(1，5) C.(1，3) D.4+i D.(1，5) 7. 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ８． 复数i?2?i??（ ） A．1?2i B．1?2i C．?1?2i D．?1?2i ９． 设z1，z2?C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 １０．已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为____________. １１.已知复数z1=x+yi，z2=x+(x-3y)i，x，y∈R.若z1=z2，且|z1|=，则z1=____________. _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 1.若(x+y)i=x-1(x，y∈R)，则2x+y的值为( ) A. B.2 C.0 D.1 2.已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为( ) A.4 B.-1 C.-1或4 D.-1或6 3.给出下列复数:①-2i，②3+，③8i2，④isinπ，⑤4+i；其中表示实数的有(填上序号) ____________. 4.下列复数模大于3，且对应的点位于第三象限的为( ) A.z=-2-i B.z=2-3i C.z=3+2i D.z=-3-2i 5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z对应点的轨迹为( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆 6.已知在?ABC中，对应的复数分别为-1+2i，-2-3i，则对应的复数为____________. 7.在复平面内，若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点， (1)在虚轴上，求复数z； (2)在实轴负半轴上，求复数z. 能力提升 第3页/共4页 8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数，则实数m的取值范围是____________. 9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是____________. 10.已知向量与实轴正向夹角为135°，向量对应复数z的模为1，则z=____________. 11.已知复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=____________. 12.已知M={1，(m2-2m)+(m2+m-2)i}，P={-1，1，4i}，若M∪P=P，求实数m的值. 13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 14． 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)． (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． 第4页/共4页
人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.1：数系的扩充与复数的概念(学生版)
