高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式自主训练新人教A版选修4_5

3.1 二维形式的柯西不等式

自主广场

我夯基我达标 1.函数y=A.思y=1×答案：B

2.已知a,b∈R+，且a+b=1，则（A.

B.

C.6D.12

)=(1×

2

的最大值是( ) C.3D.5 ：

根

据

柯

西

不

等.

式

，

知

B.路

解+2×

析

）的最大值是( )

2

思路解析：(

2

2

+1×)

2

≤(1+1)(4a+1+4b+1)=2［4(a+b)+2］ =2(4×1+2)=12. 答案：D

3.已知x,y∈R+，且xy=1，则(1+

)(1+

)的最大值为( )

A.4B.2C.1D.

）(1+

)=［1+(

2

思路解析：（1+)］［1+(

22

)］

2

≥(1×1+×)=(1+

2

)=2=4.

22

答案：A

22

4.已知2x+y=1，则2x+y的最大值是( ) A.思2x+y=答案：C

5.设a,b,c,d,m,n都是正实数，P=______________.

,Q=

，则P与Q的大小

×B.2C.

D.3

路x+1×y≤

解

析

.

：

思路解析：由柯西不等式，得 P=

.

答案：P≤Q

6.已知a,b,x,y∈R+，且ab=4,x+y=1. 求证：(ax+by)(bx+ay)≥4. 证明：左边=［(≥(=(

××x+

+

)+(×

22

)］［()

22

2

)+(

2

)］

2

×y)=ab(x+y)=ab=4.

我综合我发展

22

7.设a,b,c>0，且acosθ+bsinθ

cosθ+

2

sinθ<

2

.

证明：由柯西不等式及题设，得 ［(≤［(

cosθ+

2

2

sinθ］=［

2

22

cosθcosθ+

2

2

sinθsinθ］

2

2

2

cosθ)+(sinθ)］［cosθ+sinθ］=acosθ+bsinθ

故原不等式成立. 8.设a+b=

8

8

,求证：a+b≥

2

2

42

88

.

42

证明：a+b=≥===≥==

4

(1+1)［(a)+(b)］

42

(1×a+1×b) (a+b) ［×

(1+1)(a+b)］ {(1+1)［(a)+(b)］}

2

2

2

2

2

22

22

2

2

4

4

2

4

42

（1×a+1×b）=［×

2

2

2

2

2

(a+b)

222

(1+1)(a+b)］ (a+b)=

2

.