（一）
一、填空题（本题15分，每空1分）
1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（ ）；（ ）和强迫振动；周期振动和（ ）；（ ）和离散系统。
2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（ ），( )元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（ ），它是时间的单一（ ）或（ ）函数。 4、叠加原理是分析（ ）的振动性质的基础。
5、系统的固有频率是系统（ ）的频率，它只与系统的（ ）和（ ）有关，与系统受到的激励无关。
二、简答题（本题40分，每小题10分）
1、 简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分）
2、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）
3、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分） 4、 多自由系统振动的振型指的是什么？（10分） 三、计算题（本题30分） 1、 求图1系统固有频率。（10分）
2、 图2所示为3自由度无阻尼振动系统。
(1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；
(2)设kt1?kt2?kt3?kt4?k，I1?I2/5?I3?I，求系统固有频率（10分）。
解：1)以静平衡位置为原点，设I1,I2,I3的位移?1,?2,?3为广义坐标，画出I1,I2,I3隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
I K1 K3 图1
K2 I1 I2 I13 图2
Kt1 Kt2 Kt3 Kt4 ?I1?1?kt1?1?kt2(?1??2)?0??I2?2?kt2(?2??1)?kt3(?2??3)?0 ??I3?3?kt3(?3??2)?kt4?3?0
?I100??100???I?050?;0I0?M???2???????00I3???001??所以：
?kt20??kt1?kt2?2?10???k??12?1??kk?k?k?K???t2t2t3t3???????kt3kt3?kt4??0??0?12??
??1???1?????系统运动微分方程可写为：?M???2???K???2??0 ………… (a)
???????3??3?或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
111I1?12?I2?22?I3?32 222111U?kt1?12?kt2(?1??2)2?kt3(?22221122 ?(kt1?kt2)?1?(kt2?kt3)?2?22ET?求偏导也可以得到?M?,?K?。
1??3)2?kt4?32
21(kt3?kt4)?32?kt2?1?2?kt3?2?3 2
??1??u1?????2)设系统固有振动的解为： ??2???u2?cos?t，代入（a）可得：
????u??3??3?
?u1???(?K???2?M?)?u2??0 ………… (b)
?u??3?2k??2I?k2k?5?2I?k220?k2k??2I?0
得到频率方程：(?2)??k0 即：(?)?(2k??I)(5I??12kI??2k)?0 解得：?2?(2224
k6?26k)和?2?2
I5I(6?26kk6?26k)??2?2??3?() ………… (c) 5Im5I
所以：?1?将（c）代入（b）可得：
?6?26k2k?()I?5I???k???0????k2k?2?k2k?(6?26k)5I5I?k?0???u???1??k??u2??0
??u?36?26k???2k?()I?5I??k?2k?2I?I??k和????0??k5II?k????u1???u??0 ?k??2??u??k??3?2k?2II??01
1.82
1 解得： u11:u21:u31?1:1.82:1；
u12:u22:u32??1:0:1；
1 0
u13:u23:u33?1:?0.22:1；
令u3?1，得到系统的三阶振型如图：
四、证明题（本题15分）
-1 1 1
-0.22
{x}T[K]{x}对振动系统的任一位移{x}，证明Rayleigh商R(x)?满足
{x}T[M]{x}2。这里，[K]和[M]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，?1和?n分别是?12?R(x)??n系统的最低和最高固有频率。
(提示：用展开定理{x}?y1{u1}?y2{u2}?......?yn{un})‘ 证明：对系统的任一位移{x}，Rayleigh商
{x}T[K]{x}R(x)? T{x}[M]{x}满足
2 ?12?R(x)??n这里，[K]和[M]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，?1和?n分别为系统的最低和最高固有频率。
证明：对振动系统的任意位移{x},由展开定理，{x}可按n个彼此正交的正规化固有振型展开：
n{x}??y{uii?1(i)}?[u]{y}
其中：[u]为振型矩阵，{c}为展开系数构成的列向量：
{y}?{y1,y2,...,yn}T
所以：
{x}T[K]{x}{y}T[u]T[K][u]{y}R(x)?? TTT{x}[M]{x}{y}[u][M][u]{y}
??10?[u]T[M][u]??0??00???由于：???210?T??[u][K][u]??0??00???0?0??1??0??0??2n??
??21?{y}T?0?0{y}T[u]T[K][u]{y}?因此：R(x)??{y}T[u]T[M][u]{y}?1{y}T?0?0??
222222y1?1?y2?2?...?yn?n? 222y1?y2?...?yn0??0?{y}0?2n??
00?0?{y}?01??0
由于：?1??2?...??n
222?
所以：
21?yi?12in2i??R(x)?2n?yi?12in2i?yi?1n?yi?1n
2即：?12?R(x)??n
证毕。
（二）
一、填空题（本题15分，1空1分）
1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。
2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离散系统。
3、(惯性 )元件、(弹性 )元件、(阻尼 )元件是离散振动系统的三个最基本元素。 4、叠加原理是分析(线性振动系统 )的振动性质的基础。 5、研究随机振动的方法是（统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差），（自相关）和互相关函数。
6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。
二、简答题（本题40分，每小题5分）
答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如：
1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。
单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。 2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。
答：T?2???1，其中T是周期、?是角频率（圆频率），f是频率。 f23、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。 尼比。
4、简述非周期强迫振动的处理方法。
答：1)先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下
2)如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0，可以采用傅里叶变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆变换，求得系统的时域响应；
3)如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0，可以采用拉普拉斯变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉普拉斯逆变换，求得系统的时域响应；
5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。
答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。
6、简述刚度矩阵[K]的元素ki,j的意义。
答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i答：?d??n1??，其中?d是阻尼固有频率，?n是无阻尼固有频率，?是阻
的响应；
机械振动学复习试题
