球坐标系,三位坐标变换,旋转

由天下分享时间：2024/10/5 0:29:01 加入收藏我要投稿点赞

球坐标系与直角坐标系的转换关系

球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。

设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π], θ∈[0, π] .

当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面: r = 常数，即以原点为心的球面；

θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； φ= 常数，即过z轴的半平面。与直角坐标系的转换:

1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系: x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ

2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为: r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2); φ= arctan(y/x); θ= arccos(z/r);

球坐标系下的微分关系:

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为： dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ 球坐标的面元面积是：

dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ 体积元的体积为：

dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ

球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用.在测量实践中，球坐标中的θ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，90°－θ成为高低角。

生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系

的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。