课时作业26 平面向量的概念及其线性运算
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( B ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a|
B．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a
解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
2．(2024·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，→＋CB→＝0，则向量OC→等于( C ) 若2AC
2→1→
A．3OA－3OB →－OB→ C．2OA
1→2→
B．－3OA＋3OB →＋2OB→ D．－OA
→＝OC→－OA→，CB→＝OB→－OC→，所以2AC→＋CB→＝2(OC→解析：因为AC
→)＋(OB→－OC→)＝OC→－2OA→＋OB→＝0，所以OC→＝2OA→－OB→. －OA
3．(2024·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，→＝mAM→，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝nAN→，则m＋n的值为( B ) AC
A．1
B．2
C．3
解析：∵O为BC的中点， 1→→→∴AO＝2(AB＋AC)
1→m→n→→＝2(mAM＋nAN)＝2AM＋2AN，
D．4
mn
∵M，O，N三点共线，∴2＋2＝1，∴m＋n＝2.
4．(2024·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC( C )
2→1→A．3AB－3AD 2→1→C．－3AB＋3AD
1→→→→→解析：BF＝BA＋AF＝BA＋2AE 1?→1→→?→＝－AB＋2?AD＋2AB＋CE?
??
?
1→2→
B．3AB－3AD 1→2→D．－3AB＋3AD
→＋1AB→＋1CB→?→＋1??AD? ＝－AB232
?
1→1→1→→→→＝－AB＋2AD＋4AB＋6(CD＋DA＋AB) 2→1→
＝－3AB＋3AD.
5．(2024·长春模拟)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，S△BCD1→1→→且AD＝3AB＋2AC，则＝( B )
S△ABD
1
A．6 1
C．2
1B．3 2D．3 1→1→→解析：由AD＝3AB＋2AC得点D在平行于AB的中位线上，从而11??111
??1－－有S△ABD＝2S△ABC，又S△ACD＝3S△ABC，所以S△BCD＝23?S△ABC＝6S?S△BCD1
＝.故选B． △ABC，所以
S△ABD3
6．(2024·太原模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，2→→→，则|AP→|的取值范点P是△ABC内一点(含边界)，若AP＝3AB＋λ·AC围为( D )
?210＋33?
? A．?2，3???213?? C．?0，
3??
8??
B．?2，3?
?
?
?213?
? D．?2，
3??
2→→解析：在AB上取一点D，使得AD＝3AB，过D作DH∥AC，交BC于H.
→＝2AB→＋λAC→，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在∵AP3线段DH上．
→|取得最小值2； 当P在D点时，|AP
→|取得最大值， 当P在H点时，|AP此时B，P，C三点共线， 2→1→→∵AP＝3AB＋λAC，∴λ＝3， 1→2→→∴AP＝3AC＋3AB，
1→24→24→→52→2
∴AP＝9AC＋9AB＋9AB·AC＝9，
213→∴|AP|＝3.
?213?→??.故选D． 故|AP|的取值范围为2，
3??
→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使7．已知△ABC和点M满足MA→＋AC→＝mAM→成立，则m＝3__. 得AB
→＋MC→＝－MA→， 解析：由已知条件得MB
如图，延长AM交BC于D点， 则D为BC的中点．
延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点， 同理可证E，F分别为AC，AB的中点，
2→1→→→即M为△ABC的重心，∴AM＝3AD＝3(AB＋AC)， →＋AC→＝3AM→，则m＝3. 即AB
→＝3e＋2e，8．(2024·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB12
→＝ke＋e，CD→＝3e－2ke，若A，B，D三点共线，则k的值为－CB121294. →解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→. ＝λBD
→＝3e＋2e，CB→＝ke＋e，CD→＝3e－2ke， 又AB121212
→＝CD→－CB→＝3e－2ke－(ke＋e)＝(3－k)e－(2k＋1)e， 所以BD121212所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
??3＝λ?3－k?，9
又e1与e2不共线，所以?解得k＝－4. ??2＝－λ?2k＋1?，
9．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，1??→→→点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是?0，2? .
?
?
→＝2DC→， 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB→＝λDC→(0≤λ≤1)． ∵点E在线段CD上，∴DE→＝AD→＋DE→， ∵AE
2μ→2μλ→→→→→→又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE，∴λ＝1，即μ＝2，1
∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤2.
1???即μ的取值范围是0，2?. ??
→＋sinB·→10．(2024·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·GAGB→＝0，则角B的大小为60°＋sinC·GC__.
解析：∵G是△ABC的重心，
→＋GB→＋GC→＝0，GA→＝－(GB→＋GC→)， ∴GA
→＋sinB·→＋sinC·→＝0， 将其代入sinA·GAGBGC→＋(sinC－sinA)GC→＝0. 得(sinB－sinA)GB
→，GC→不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0. 又GB
则sinB＝sinA＝sinC． 根据正弦定理知，b＝a＝c， ∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.
11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF→＝a，AC→＝b，试用a，b表示向量AO→. 与CD交于点O，设AB
人教版2024届高考一轮数学(理)复习：课时作业26 平面向量的概念及其线性运算(含答案)
