2016年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分
1.设实数a满足a?9a?11a?|a|,则a的取值范围是
3答案:a?(?2310,?) 33解:由a?|a|可得a?0,原不等式可变形为
9a3?11a|a|1????1
aa即?1?9a?11?1,所以a?(222310104,?). ,).又a?0,故a?(?33932.设复数z,w满足|z|?3,其中i是虚数单位,(z?w)(z?w)?7?4i,z,w分别表示z,w的共轭复数,则(z?2w)(z?2w)的模为 答案:65
2222解:由运算性质,7?4i?(z?w)(z?w)?|z|?|w|?(zw?zw),因为|z|与|w|为
222实数,Re(zw?zw)?0,故|z|?|w|?7,zw?zw??4i,又|z|?3,所以|w|?2,
从而
(z?2w)(z?2w)?|z|2?4|w|2?2(zw?zw)?9?8?8i?1?8i
因此,(z?2w)(z?2w)的模为65.
3.正实数u,v,w均不等于1,若loguvw?logvw?5,logvu?logwv?3,则logwu的
值为 答案:
4 5解:令loguv?a,logvw?b,则
11,logwv?,loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab115条件化为a?ab?b?5,??3,由此可得ab?,因此
ab44logwu?logwv?logvu??.
5logvu?4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 答案:
9 35解:一种取法符合要求,等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b,从而a?b?5?5?10.故只能从A中国取走两张1元纸币,相应的取法
2数为C3?3.又此时b?a?2,即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有
C72?C32?18种取法.因此,所求的概率为
3?18549??. 2210?2135C5?C75.设P为一圆锥的顶点,A,B,C是其底面圆周上的三点,满足?ABC=90°,M为AP的中点.若AB=1,AC=2,AP?答案:arctan
解:由?ABC=90°知,AC为底面圆的直径.设底面中心为O,则PO?2,则二面角M—BC—A的大小为
231AC?1,进而PO?AP2?AO2?1. 2设H为M在底面上的射影,则H为AO的中点.在底面中作HK?BC于点K,则由三垂线定理知MK?BC,从而?MKH为二面角M—BC平面ABC,易知AO?—A的平面角.
1HKHC33,结合HK与AB平行知,??,即HK?,这样2ABAC44MH22tan?MKH??.故二面角M—BC—A的大小为arctan.
HK33kx4kx?cos46.设函数f(x)?sin,其中k是一个正整数.若对任意实数a,均有
1010因MH?AH?{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R},则k的最小值为
答案:16
kxkxkxkx ?cos2)2?2sin2cos21010101012kx32kx ?1?sin?cos? 54545m?其中当且仅当x?(m?Z)时,f(x)取到最大值.根据条件知,任意一个长为1的开
k5?区间(a,a?1)至少包含一个最大值点,从而?1,即k?5?.
k解:由条件知,f(x)?(sin2反之,当k?5?时,任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期,此时 {f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立.综上可知,正整数的最小值为[5?]?1?16.
y2?1,左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作直线与双曲线C7.双曲线C的方程为x?32的右半支交于点P,Q,使得?F1PQ=90°,则?F1PQ的内切圆半径是 答案:7?1
解:由双曲线的性质知,
F1F2?2?1?3?4,PF1?PF2?QF1?QF2?2.
因?F1PQ=90°,故PF1?PF2?F1F2,因此
222PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆半径是
r?111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 2228.设a1,a2,a3,a4是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足
122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2
则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为 答案:40
1222222解:由柯西不等式知,(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4),等号成立
的充分必要条件是
a1a2a3??,即a1,a2,a3,a4成等比数列.于是问题等价于计算满足a2a3a4{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,…,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数.设等比数列的公比
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新
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