2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．设实数a满足a?9a?11a?|a|，则a的取值范围是
3答案：a?(?2310,?) 33解：由a?|a|可得a?0，原不等式可变形为
9a3?11a|a|1????1
aa即?1?9a?11?1，所以a?(222310104,?)． ,)．又a?0，故a?(?33932．设复数z,w满足|z|?3，其中i是虚数单位，(z?w)(z?w)?7?4i，z,w分别表示z,w的共轭复数，则(z?2w)(z?2w)的模为 答案：65
2222解：由运算性质，7?4i?(z?w)(z?w)?|z|?|w|?(zw?zw)，因为|z|与|w|为
222实数，Re(zw?zw)?0，故|z|?|w|?7，zw?zw??4i，又|z|?3，所以|w|?2，
从而
(z?2w)(z?2w)?|z|2?4|w|2?2(zw?zw)?9?8?8i?1?8i
因此，(z?2w)(z?2w)的模为65．
3．正实数u,v,w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwu的
值为 答案：
4 5解：令loguv?a，logvw?b，则
11，logwv?，loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab115条件化为a?ab?b?5，??3，由此可得ab?，因此
ab44logwu?logwv?logvu??．
5logvu?4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 答案：
9 35解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而a?b?5?5?10．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法
2数为C3?3．又此时b?a?2，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有
C72?C32?18种取法．因此，所求的概率为
3?18549??． 2210?2135C5?C75．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足?ABC=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，AP?答案：arctan
解：由?ABC=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则PO?2，则二面角M—BC—A的大小为
231AC?1，进而PO?AP2?AO2?1． 2设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作HK?BC于点K，则由三垂线定理知MK?BC，从而?MKH为二面角M—BC平面ABC，易知AO?—A的平面角．
1HKHC33，结合HK与AB平行知，??，即HK?，这样2ABAC44MH22tan?MKH??．故二面角M—BC—A的大小为arctan．
HK33kx4kx?cos46．设函数f(x)?sin，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有
1010因MH?AH?{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为
答案：16
kxkxkxkx ?cos2)2?2sin2cos21010101012kx32kx ?1?sin?cos? 54545m?其中当且仅当x?(m?Z)时，f(x)取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开
k5?区间(a,a?1)至少包含一个最大值点，从而?1，即k?5?．
k解：由条件知，f(x)?(sin2反之，当k?5?时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时 {f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立．综上可知，正整数的最小值为[5?]?1?16．
y2?1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线与双曲线C7．双曲线C的方程为x?32的右半支交于点P，Q，使得?F1PQ=90°，则?F1PQ的内切圆半径是 答案：7?1
解：由双曲线的性质知，
F1F2?2?1?3?4，PF1?PF2?QF1?QF2?2．
因?F1PQ=90°，故PF1?PF2?F1F2，因此
222PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆半径是
r?111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 2228．设a1,a2,a3,a4是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足
122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2
则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为 答案：40
1222222解：由柯西不等式知，(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)，等号成立
的充分必要条件是
a1a2a3??，即a1,a2,a3,a4成等比数列．于是问题等价于计算满足a2a3a4{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,…,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数．设等比数列的公比
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)新
