荆州中学2020年下第一次月考
高三年级数学试题
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
1．已知集合A?y|y?|x∣?1,x?R，B?x∣x?2，则下列结论正确的是（ ）
A．?3?A
ix????B．3?B C．AB?B D．AB?B
2．据记载，欧拉公式e?cosx?isinx(x?R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x??时，得到一个令人着迷的优美恒等式e?i?1?0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率?，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是
?4“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数z?e的共轭复数为z，则z?（ ） A．?i22?i 22B．?22?i 22C．
22?i 22D．
22?i 223．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A．0．35
B．0．25
C．0．20
D．0．15
4．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（ ）
①图2的建议为减少运营成本 ③图3的建议为减少运营成本 A．①④
B．②④
②图2的建议可能是提高票价 ④图3的建议可能是提高票价 C．①③
D．②③
5．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k?0)，通过x块这样的玻璃以后强度
为y，则y?k?0.9xx?N?，那么光线强度减弱到原来的（参考数据：lg3?0.477） A．9
B．10
C．11
??1以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）3D．12
6．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（ ） A．36种
B．48种
C．56种
D．72种
7．已知正方形ABCD的边长为1，P为平面ABCD内一点，则(PA?PB)?(PC?PD)的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．?2
D．?1
x8．已知函数f?x?是定义域为R的奇函数，且当x?0时，f(x)?log2(x?1)?2?a，则满足
f?x2?3x?1??2?0的实数x的取值范围是（ ）
A．??3,0?
B．??1,0?
C．?0,3?
D．?1,2?
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）
x2y229．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的焦点与抛物线x?4y的焦点之间的距离为2，且C的离心率
ab为3，则（ ）
A．C的渐近线方程为y??2x
y2?1 B．C的标准方程为x?22C．C的顶点到渐近线的距离为2 3D．曲线y?ex?3?1经过C的一个焦点
10．已知函数f(x)?cos?2x?的是（ ）
???????????2sinx?cosx??????(x?R)，现给出下列四个命题，其中正确3?4?4???A．函数f(x)的最小正周期为2? B．函数f(x)的最大值为1 C．函数f(x)在??????,?上单调递增 44??
D．将函数f(x)的图象向左平移
?个单位长度，得到的函数解析式为g(x)?sin2x 1211．设b?a?0，c?R，则不列等式中正确的是（ ）
A．a?b
1212B．
11?c??c abC．
a?2a? b?2bD．ac2?bc2
12．已知已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分
的分数转换区间为60,300，若使标准分X服从正态分布N(180,900)，（参考数据：①P(????X??????)?0.6827；②P(??2??X???2?)?0.9545；③P(??3??X???3?)?0.9973．则
（ ）
A．这次考试标准分超过180分的约有450人 B．这次考试标准分在?90,270内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D．P(240?X?270)?0.0428 三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知过抛物线y?2px(p?0)焦点F，斜率为k(k?0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|?2?3 8
3|BF|，则直线l的斜率为___________． 214．如图所示的圆中，已知圆心角?AOB?2?，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，若CD的长为a，3则弧ACB与弦AB所围成的弓形ACB的面积为___________．
15．设函数f?x?的定义域为R，满足f(x?1)?2f(x)，且当x?[0,1)时，f(x)?sin?x，当x?[0,??)
时，函数f?x?的极大值点从小到大依次记为a1，a2 ，a3，…，an…，并记相应的极大值为b1，b2，
b3，…，bn…，则数列?an?bn?前9项的和为___________．
16．如图，在直角梯形ABCD中，AB?BC ，AD∥BC，AB?BC?1AD?1，点E是线段CD上异2于点C，D的动点，EF?AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF?AF，则
五棱锥P?ABCE的体积的取值范围为___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）
已知等比数列?an?中，2a4?3a3?a2?0，且a1?（1）求an；
（2）设?an?的前n项和为Tn，求证18．（12分）
1，公比q?1． 21?Tn?1． 2b2． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinB（1）求 sinAsinC； （2）若cosAcosC?19．（12分）
在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi（单位：万元）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下：
1，b?3，求a?c的值． 6yi ti 1 2.4 2 2.7 3 4.1 4 6.4 5 7.9 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明
（计算结果精确到0.01）．（若|r|?0.75，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式：r?i?1n??ti?t2n??yi?y?i?1i?1??ti?t???yi?y?n?2i?1n?tiyi?nty2i?1ni?1??ti?t???yi?y?n
2
参考数据：56.95?7.547，?tiyi?85.2，??ti?ti?1i?155?2?10，??yi?y??22.78 i?152（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为设顾客每次抽奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回200元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．
20．（12分）
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD?平面ABCD，E为PD中点，AD?2．
2，中奖就可以获得100元现金奖励，假5
（1）求证：平面AEC?平面PCD；
（2）若二面角A?PC?D的平面角大小?满足cos??21．（12分）已知函数f(x)?lnx?2，求线段AB的长． 4123x?ax(a?R)，g(x)?ex?x2?x． 22（1）当a??4时，求函数f(x)的单调区间；
（2）定义：对于函数f(x)，若存在x0，使f?x0??x0成立，则称x0为函数f?x?的不动点．如果函
数F(x)?f(x)?g(x)存在不动点，求实数a的取值范围．
22．（12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?12x的焦点，离心率等于4
2021届湖北省荆州中学高三上学期第一次月考数学试题
