向量的概念及运算
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题 1. 给出下列命题：
→→
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量一定是共线向量． 其中不正确命题的个数为( ) A. 1 C. 3 答案：A
→→
解析：对于④，在△ABC中，BA与CA有公共终点A，但不是共线向量，故④错．①②③正确，故选A.
1
2. 设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝( )
3A. －1 1
C. －
3答案：D
11
解析：∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1
33111
＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.
333
→→→3. [2013·安徽名校联考]设M是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BM，则( ) →→
A. MA＋MB＝0 →→
C. MB＋MC＝0 答案：B
→→→
解析：∵BC＋BA＝2BM， →→→→→∴MC－MB＋MA－MB＝2BM， →→→→
即MA＋MC＝2BM＋2MB＝0.
→→B. MC＋MA＝0 →→→D. MA＋MB＋MC＝0 B. 3 1D. 3B. 2 D. 4
→→→→→
4. [2013·江门市模拟]若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是( )
A. 直角梯形 C. 矩形 答案：B
→→→→解析：由AB＋CD＝0知，AB＝DC，
即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． →→→→→又(AB－AD)·AC＝0，∴DB·AC＝0，即AC⊥BD， 因此四边形ABCD是菱形，故选B.
→→→→→→5. [2012·辽宁大连沙河口3月模拟]非零不共线向量OA，OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA→
＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
A. x＋y－2＝0 C. x＋2y－2＝0 答案：A
→→→→→→
解析：PA＝λAB得OA－OP＝λ(OB－OA) →→→即OP＝(1＋λ)OA－λOB →→→又2OP＝xOA＋yOB
B. 2x＋y－1＝0 D. 2x＋y－2＝0 B. 菱形 D. 正方形
??x＝2＋2λ∴? ??y＝－2λ
消去λ，得x＋y＝2，故选A.
→
|BC|→→→
6. [2013·威海模拟]已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，则的
→|AB|值为( )
1
A. 21
C. 4答案：A
→→→
解析：∵OA＋2OC＝3OB，
1B. 31D. 6
→→→→→→∴2OC－2OB＝OB－OA，即2BC＝AB， →
→→|BC|1∴2|BC|＝|AB|，＝.
→2|AB|二、填空题
→→→→→
7. [2013·广州模拟]在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．
11答案：－a＋b
44
→→→1→1→
解析：MN＝MC＋CN＝AD－AC
241111
＝b－(a＋b)＝－a＋b. 2444
8. [2013·朝阳区模拟]如图，在△ABC中，D、E分别→→→是BC、AC的中点，F为AB上一点，且AB＝4AF，若AD→→
＝xAF＋yAE，则x＝________，y＝________.
答案：2 1
→→→→1→→
解析：如图，连接ED，因为AD＝AE＋ED＝AE＋AB＝AE
21→→→→→＋×4AF＝AE＋2AF＝2AF＋AE. 2
所以x＝2，y＝1.
9. [2012·湖南高考]如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥→→BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.
答案：18
→→→→→
解析：AP·AC＝AP·(DB＋2BC) →→→→→→＝2AP·BC＝2AP·AD＝2|AP|·|AP|＝18. 三、解答题
→→→1→→1→
10. 如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作?OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a、b表示
33
→→→OM、ON、MN.
→→→
解：∵BA＝OA－OB＝a－b，→1→11BM＝BA＝a－b，
666
→→→15→∴OM＝OB＋BM＝a＋b.又OD＝a＋b，
66→→1→1→1→∴ON＝OC＋CD＝OD＋OD
3262→2
＝OD＝(a＋b)． 33
→→→2215∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b
336611＝a－b. 26
→15→22即OM＝a＋b，ON＝a＋b，
6633→11
MN＝a－b.
26
11. [2013·宁化模考]已知两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． →→→
解：(1)∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. →→
∴AB、BD共线，
又因为它们有公共点B，∴A、B、D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 经检验，k＝±1均符合题意．
→12. [2013·海口联考]设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA→→
＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
→→→
解：AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j， →→→
BC＝OC－OB＝(5－n)i＋(－2)j. ∵点A、B、C在同一条直线上， →→→→∴AB∥BC，即AB＝λBC，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]， n＋2＝λ?5－n???
∴?1－m＝－2λ??m＝2n
???m＝3?m＝6
，解得?或?3.
?n＝3???n＝2
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