1.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．掌握正切的意义，坡度的概念，用正切表示生活中物体的倾斜程度. 2．培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力. 3．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 【重点难点】
1．从现实情景中探索直角三角形的边、角关系.
2．理解正切的意义和与生活现象--倾斜度、坡度的内在本质的统一性，密切数学与生活的联系.
3．如何把正切的意义从现实生活中抽取并灵活应用. 知识概览图
?锐角三角函数的概念锐角三角函数?
会用三角函数表示各边的比值?新课导引
【生活链接】意大利比萨斜塔落成时已经倾斜，你如何描述比萨斜塔的倾斜程度呢?
【点拨】我们可以用“塔身中心线偏离竖直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度．用该角的正切值来描述塔的倾斜程度，即该角的正切值越大，塔倾斜越严重．其实，角的正弦值、余弦值均可以描述塔的倾斜程度，即该角的正弦值越大，塔倾斜越严重；该角的余弦值越小，塔倾斜越严重． 教材精华
知识点1 正切的概念
如图1—l所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tanA＝?A的对边．
?A的邻边 拓展 (1)tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角
的符号 “∠”．我们后面将要学习的sinA，cos A也是这样．(2)当用三个大写字母表示一个角，并表示它的正切时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠BAC。(3)正切是在直角三角形中定义的，其本质是两条线段长度的比值，它是数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小无关．
知识点2 正切的应用
正切值与梯子倾斜程度之间的关系． tanA的值越大，梯子越陡．
拓展 当梯子的倾斜角确定时，其对边与邻边的比值便随之确定，因此，可以用倾斜角的对边与邻边之比，即倾斜角的正切值来刻画梯子的倾斜程度． 用正切来描述山坡的坡度． 坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
拓展 工程上，斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切．坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．通常坡度用字母i表示． 知识点3 正弦和余弦的概念
如图1—2所示，在Rt△ACB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sinA＝
?A 的对边．
斜边∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cosA＝
?A 的邻边．
斜边 拓展 (1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的，其本质也是两条线段长度的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：0 知识点4 三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数． 拓展 在锐角A的三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A <90°，三个比值是因变量．当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应． 知识点5 互余两角的正弦与余弦的关系 如图1—3所示，∠A的对边恰是∠B的邻边，而∠B的对边也恰是∠A的邻边． ∵sinA＝ ?A 的对边a?， 斜边ccosB＝ ?B 的邻边a?， 斜边c ∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB， 又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A， ∴sinA=cos(90°－A)＝cos B， cosA＝sin(90°－A)＝sinB． 也就是说，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值． 拓展 此结论适用于所有两个角互为余角的情况，它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角． 规律方法小结 在本节知识的学习中，一定要仔细体会数形结合的思想，掌握数形结合的方法．本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导，都体现了数形结合的思想方法．对于锐角三角函数的有关概念，应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对概念的理解． 本节内容是三角函数的基础知识，是全章的重点，也是难点，现将本节知识归纳如下（参照图1—3）: sin A＝ ?A 的对边a?A 的邻边b?A 的对边a?,cosA??,tanA??; 斜边c斜边c?A 的邻边b?B 的对边b?B 的邻边a?B 的对边b?,cosB??,tanB?? 斜边c斜边c?B 的邻边a sin B＝ ??sinA?cos(90?A)?cosB, ∠A十∠B＝90°?? ??cosA?sin(90?A)?sinB.课堂检测 基本概念题 3 1、在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于( ) 5 A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5 2、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10 m，则他所在的位置比原来的位置 升高了 m． 基础知识应用题 3、在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． (1) 求AB的长； (2) 求sin A，cos A的值； (3) 求sinA+cosA的值； (4) 比较sin A与cos B的大小； (5) 比较tan A与 综合应用题 4、已知α为锐角，且tanα是方程x2 －2x－3＝0的一个根，求tan2a+2tanα+1的值． 2 2 sinA 的大小． cosA 5、如图1－8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，S 梯形ABCD＝40，求tan B的值． 6、求证：平行四边形 ABCD的面积S＝AB·BC·sin B (∠B为锐角)． 探索与创新题 7、已知a为锐角，且tan a＝3，求 sina?cosa的值． sina?2cosa
北师大版数学九下第一章《直角三角形的边角关系》word导学案
