（2）由（1）得点M的纵坐标yM?k(xM?3)??3k．
4k2?143k23k即M(2,?2)．
4k?14k?13k143k2所以线段AB的垂直平分线方程为：y?2??(x?2)．
4k?1k4k?133k33k2令x?0，得D(0,2)；令y?0，得C(2,0)．
4k?14k?1所以VODC的面积S?ODC133k33k227k2?|k|??|2|?||=， 24k?14k2?12(4k2?1)2VCMF的面积S?CMF133k23k3(k2?1)?|k|??|3?2|?|?2|?． 24k?14k?12(4k2?1)2因为VODC与VCMF的面积相等，
27k2?|k|3(k2?1)?|k|2?所以，解得． k??2(4k2?1)22(4k2?1)24所以当VODC与VCMF的面积相等时，直线l的斜率k??2． 4【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 19.已知函数f?x??e?ax?x12x,其中a??1 2（1）当a?0时,求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程; （2）当a?1时,求函数f?x?的单调区间; （3）若f?x????12x?x?b对于x?R恒成立,求b?a的最大值. 2【答案】（1）x?y?1?0（2）f(x)的单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0).（3）1?1 e【解析】 【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；
16
x（2）求出导数，依据f?(x)?e?1?x在???,???上单调递增，且f?(0)?0，分别解不等
式f?(x)?0以及f?(x)?0，即可求出函数f?x?的单调增区间和减区间；
xx（3）由题意得e?(a?1)x?b≥0在x?R上恒成立，设g(x)?e?(a?1)x?b，用导数讨
论函数的单调性，求出最小值g(ln(a?1))≥0，可得b?a≤1?(a?1)ln(a?1)．再设h(x)?1?xlnx(x?0)，求出函数h?x?的最大值，即为b?a的最大值．
【详解】（1）由f(x)?ex?12x，得f?(x)?ex?x， 2所以f(0)?1，f?(0)?1．
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x?y?1?0． （2）由f(x)?ex?x?12x，得f?(x)?ex?1?x． 2x因为f?(0)?0，且 f?(x)?e?1?x在???,???上单调递增，所以
x由f?(x)?e?1?x?0得，x?0，
所以函数f(x)在(0,??)上单调递增 ，
x由f?(x)?e?1?x?0得，x?0
所以函数f(x)在(??,0)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0)．
x（3）由f(x)≥x2?x?b，得e?(a?1)x?b≥0在x?R上恒成立．
12x设g(x)?e?(a?1)x?b，
x则g?(x)?e?(a?1)．
x由g?(x)?e?(a?1)?0，得x?ln(a?1)，（a??1）．
随着x变化，g?(x)与g(x)的变化情况如下表所示：
x g?(x)
(??,ln(a?1)) ln(a?1) (ln(a?1),??) ? 0 ? 17
g(x)
↘ 极小值 ↗ 所以g(x)在(??,ln(a?1))上单调递减，在(ln(a?1),??)上单调递增． 所以函数g(x)的最小值为g(ln(a?1))?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b． 由题意，得g(ln(a?1))≥0，即 b?a≤1?(a?1)ln(a?1)． 设h(x)?1?xlnx(x?0)，则h?(x)??lnx?1． 因为当0?x?11时，?lnx?1?0； 当x?时，?lnx?1?0， ee所以h(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减．
1e1e所以当x?111时，h(x)max?h()?1?． eee1112，b?a?1?(a?1)ln(a?1)，即a??1，b?时，b?a有最大值为1?． eeee所以当a?1?【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
·?a100?205 ，且对于任意20.设整数集合A??a1,a2,?,a100?,其中1?a1?a2??·i,j?1?i?j?100?，若i?j?A，则ai?aj?A.
（1）请写出一个满足条件的集合A;
（2）证明:任意x??101,102,?,200?,x?A; （3）若a100?205,求满足条件的集合A的个数.
【答案】（1）A?{1,2,3,L,100}（2）证明见解析 （3）16个 【解析】 【分析】
（1）根据题目条件，令an?n，即可写出一个集合A?{1,2,3,L,100}； （2）由反证法即可证明；
（3）因为任意的x??101,102,?,200?,x?A，所以集合AI{201,202,L,205}中至多5
18
个元素.设a100?m?b≤100，先通过判断集合A中前100?m个元素的最大值可以推出
ai?i(1≤i≤100?m)，故集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．
【详解】（1）答案不唯一． 如A?{1,2,3,L,100}； （2）假设存在一个x0?{101,102,L,200}使得x0?A， 令x0?100?s，其中s?N且1≤s≤100， 由题意，得a100?as?A，
由as为正整数，得a100?as?a100，这与a100为集合A中的最大元素矛盾， 所以任意x?{101,102,L,200}，x?A．
（3）设集合AI{201,202,L,205}中有m(1≤m≤5)个元素，a100?m?b， 由题意，得a1?a2?L?a100?m≤200，200?a100?m?1?a100?m?2?L?a100， 由（2）知，a100?m?b≤100． 假设b?100?m，则b?100?m?0． 因为b?100?m≤100?100?5?5?100?m， 由题设条件，得a100?m?ab?100?m?A，
因为a100?m?ab?100?m≤100?100?200， 所以由（2）可得a100?m?ab?100?m≤100， 这与a100?m为A中不超过100的最大元素矛盾，
所以a100?m≤100?m， 又因为1≤a1?a2?L?a100?m，ai?N， 所以ai?i(1≤i≤100?m)．
任给集合{201,202,203,204}的m?1元子集B，令A0?{1,2,L,100?m}UBU{205}， 以下证明集合A0符合题意：
对于任意i,j(1≤i≤j≤100)，则i?j≤200．
19
若i?j?A0，则有i?j≤100-m，
所以ai?i，aj?j，从而ai?aj?i?j?A0． 故集合A0符合题意，
所以满足条件的集合A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A有24?16个．
【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．
20
北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题
