北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
第Ⅰ卷（共40分）
本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.设集合A??x|x?a?,B???3,0,1,5?,若集合AIB有且仅有2个元素,则实数a的取值范围为（ ） A. ??3,??? 【答案】B 【解析】 【分析】
根据集合的交集运算，由题意知AIB???3,0?，由此可得，0?a?1．
【详解】因为集合AIB有且仅有2个元素，所以AIB???3,0?，即有0?a?1． 故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数z?A. 第一象限 限 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简复数z?1?2i，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数z?B. ?0,1?
C. 1,???
?D. ?1,5?
3?i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） 1?iB. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
3?i?3?i??1?i?2?4i???1?2i， 1?i?1?i??1?i?2所以复数z对应的点(1,?2)位于第四象限.
1
故选D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.在VABC中,若a?6,A?60?,B?75?,则c?（ ） A. 4 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和求出角C，再根据正弦定理即可求出边c． 【详解】因为C?180o?75o?60o?45o，所以根据正弦定理知，
B. 22 C. 23 D. 26 ac?，即sinAsinC6c?，解得c?26． oosin60sin45故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题． 4.设x?y,且xy?0,则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
11? xy
B. lnx?lny
22C. 2?x?2?y 【答案】C 【解析】 【分析】
D. x?y
根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】对A，若x?y?0，则
11
?，错误； xy
对B，当x?y时，取x?1,y??2，根据对数函数的单调性可知，lnx?lny，错误； 对C，因为x?y，所以?x??y，根据指数函数的单调性可知，2?x?2?y，正确；
22对D，当x?y时，取x?1,y??2，x?y，错误．
故选：C．
2
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题． 5.已知直线x?y?2?0与圆x?y?2x?2y?a?0有公共点,则实数a的取值范围为
22（ ） A. ???,0?
B. ?0,???
C. ?0,2?
D.
???,2?
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．
x2?y2?2x?2y?a?0即为?x?1???y?1??2?a．
由22?1?1?22?2?a，解得a?0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
rrrrrrrrrr6.设三个向量a,b,c互不共线,则 “a?b?c?0”是 “以a,b,c为边长的三角形存
在”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
【详解】因为三个向量a,b,c互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设a?AB,b?BC，
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
rrrruuurruuurrrr而a,b,c互不共线，所以A,B,C三点不共线．
ruuurruuurruuurrrrrruuur当a?b?c?0时，c?CA，因为A,B,C三点不共线， a?AB,b?BC,c?CA，
3
rrr所以以a,b,c为边长的三角形存在；
rrrruuurruuurruuurrrrr若以a,b,c为边长的三角形存在，但是a?AB,b?BC，c?AC，a?b?c?0． rrrrrrr故“a?b?c?0”是 “以a,b,c为边长的三角形存在”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．
7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）
A. 100cm3 C. 300cm3 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 200cm3 D. 400cm3
根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
h?46?，解得h?10． h101119622??200cm3． 故V???5?10???3?6?333【详解】设大圆锥的高为h，所以故选：B．
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题． 8.已知函数f?x?? x?1?k,若存在区间?a,b????1,???,使得函数f(x)在区间
4
?a,b?上
值域为?a?1,b?1?,则实数k的取值范围为（ ）
B. ??1,0?
C. ??A. ??1,??? ?1???,0? ?4?【答案】D 【解析】 【分析】
???a?1?a?1?k?0?f?a??a?1根据函数的单调性可知，，即得?，故可知a?1,b?1?fb?b?1??????b?1?b?1?k?0是方程x2?x?k?0的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
???a?1?a?1?k?0?f?a??a?1【详解】根据函数的单调性可知，?，即可得到?，即可
fb?b?1??????b?1?b?1?k?0???1?4k?0知a?1,b?1是方程x?x?k?0的两个不同非负实根，所以?，解得
xx??k?0?122的第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
5r?1?,??? ?4?D.
1??k?0． 4故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在?1?x?的展开式中,x2的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】?1?x?r展开式通项为Tr?1?C5??x?，令x?2，所以x2的系数为
5C52??1??10．
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北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题
