(1)A(?1,0), B(2,?1)；(2)A(?2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,?2)；(4)A(?2,4), B(?3,8)． 4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(?1,1),求D点坐标．
uuuruuur 5. 已知A(6,?3),B(3,?5),且AB= ?2AC，求C点的坐标．
复习引入：
新授： 1. 向量的数量积 (1)平面向量所成的角
(a^b) 给定两个非零平面向量a,b，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(a^b)(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0?(a^b)??．零向
图7-25 a b 量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a^b)叫做向量之间的夹角．
从向量所成角定义，立即可知
(a^b)=0 ? a//b (即a,b共线)；(a^b)= ? ? a=-b (即a,b互为相反向量)． 特别地，当(a^b)= (2)向量的数量积
已知向量a,b，a,b的数量积是一个以下式定义的数量： a?b=|a||b|cos(a^b) 其中(a^b)表示向量a,b之间所成的角．
向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积． 例1 求下列向量的数量积：
(1)|a|=5,|b|=4, (a^b)=2?，求a?b； (2)a=(3,4),|b|=
3?，则我们说a与b垂直，记作a?b． 21?, (a^b)=，求a?b；
22 (3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求a?b； (4)a=(1,3)，求a?a； (5)a=0，b=(x,y)，求a?b． 课内练习1
1. 求下列向量的数量积： (1)|a|=2,|b|=8, (a^b)=
1??，求a?b； (2)a=(1,3),|b|=, (b^a)=，求a?b；
324(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求a?b； (4)a=(5,3)，求a?a； (5)a=(10,y)，b=0，求a?b． (3)向量数量积的基本运算法则
根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则： ①交换律：a?b=b?a；
②数乘分配率：(?a)?b=a?(?b)=?(a?b)，(任意??R)； ③分配率：(a+b)?c=a?c+b?c．
例2 设AB=(3,-1), |CD|=2, ?=(AB^CD)=?，求
3(1)(2AB)?(3CD)；(2)(AB+2CD)?AB；(3)(-4AB)?(AB+2CD)． 课内练习2
1．已知|a|=4, |b|=3，a与b的夹角为
5?，求(2a?b)?(a+2b)． 632．已知A(-1,2),B(1,4)，|CD|=4, ?=(AB^CD)=?，求 (1)AB?(3CD)；(2)(2AB+CD)?AB；(3)AB?(-AB+2CD)． (4)向量数量积的基本结论
从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①a?b ? a?b=0；
②当a//b且同向时，a?b=|a||b|；当a//b且方向相反时，a?b=-|a||b|； ③a?a=|a|2，所以|a|=a?a； ④cos(a^b)=
a?b． (7-3-2)
|a|?|b| 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．
例3 已知|a|=4, |b|=5，分别在下列条件下求a?b： (1)a//b； (2)a?b． 例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(a^b)的余弦值． 课内练习3
1. 已知a//b，|a|=1, |b|＝2，求 a?b．
2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：
(1)0?a=0；(2)|a|=a?a；(3)a?b=|a||b|；(4)a?b=|a?b|；(5)|a?b|=|a||b||cos(a^b)|； (6)(a?b)(a?b)=(a?a)(b?b)=|a|2|b|2；(7)a//b ? 存在实数?，使a?b=?|a|2； (8)(a+b)?(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)?(a-b)=a2-b2． 3. 已知|a|=1, |b|=4, a?b=23，求(a^b)． 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示
向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积． 首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有
i?i=1；i?j=j?i=0；j?j=1． (4) 现设向量 a, b的坐标为a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即 a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，
则 a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)=x1x2i·i+y1y2j·j+x1y2i·j+y1x2j·i，
即 a·b=x1x2+y1y2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和． 以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式： 设a=(x,y)，则a·a=|a|2=x2+y2，即向量模公式 |a|=x2?y2；
特别地当a=AB，且起终点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)为已知时，由AB=(x2-x1,y2-y1)，即得 |a|=|AB|=(x2?x1)2?(y2?y1)2， 此即为两点间的距离． 例5 求下列向量的数量积：
(1)a=(2, -1), b=(3, 1)，求a·b；(2)c=(-1, -1), d=(1, -1)，求c·d．
例6 已知a=(1, 2), b=(-2, 3)，求(a+b)?(a-b), (a- b)?(2a+b)． 例7 (1)已知a=(-2, 6), a·b=-6，设b=(6, y)，求y； (2)已知a=(2,2), (a^b)=课内练习4
1. 求下列向量的数量积：
(1)a=(-2, 1), b=(3, -1)，求a·b；(2)c=(4, -1), d=(2, -1)，求c·d． 2. 已知a=(2, -1), b=(-1, 5)，求(2a+b)?(2a-b), (a-2b)?(2a+b)． 3. 设a=(x, 6), a·b=-6, b=(2, -1)，求x． 4. 已知|a|=1, (a^b)=
?, |b|=2，求b的坐标． 43?, b=(-1,2)，求a的坐标． 4 (2)平面向量所成角的计算公式
把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得 cos(a^b)=
21x1x2?y1y2x?y?x?y212222． (7-3-4)
直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段． 特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到
a?b ? x1x2+y1y2=0， 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一． 例8 求向量a与b所成角：
(1)a=(2,1) , b=(3,-1)；(2)a=(2,-1) , b=(-3,-1)． 例9 已知点A(1,2)，B(2,3)，C(?2,5) ．求证?BAC=?2． 课内练习5
1．求求向量a与b所成角：
(1)a=(?1, 2), b=(2, 3)；(2)a=(?1,?2), b=(2, ?5)． 2. 证明以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形： (1) A(?1, ? 4), B(5, 2), C(3, 4)；(2)A(?2, ?3), B(19, 4), C(?1,?6)． 3. 已知a=(4, 2), b=(?3,?3)，当k为何值时，a+b 与ka?2b垂直？ 4. 已知点A(0,1), B(5,2)，求点P(x,y)，使PA?PB且PA=PB．
(7-3-5)
中职数学平面向量教案
