记作 c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．
例7 在?ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在?ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求 (1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC． 课内练习4
1. 在?ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求
(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．
因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)． (3)向量的数乘运算
在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC, b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与
AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义： 一个实数?乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|?|倍，即 |b|=|?|?|a|；
b的方向当?>0时与a的方向相同，当?<0时与a的方向相反．记作 b=??a 或 b=?a，
把向量的这种运算叫做向量的数乘运算． 根据向量数乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1?a，a+a=2a，-a-a=-2a．
把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：
(?+?)a=?a+?a，? (a+b)=?a+?b， 其中?,?是任意实数，a,b是任意向量．
根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数?，使b=??a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数?，使b=??a（a≠0）． 例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c． 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．
例9 ?ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为?A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)． 课内练习5
1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．
2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模． 3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．
4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？
复习引入：
新授：
1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量
设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy}．方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向
j
量(见图9-16)．
(2)平面向量的直角坐标
在坐标平面上给定了向量 a，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A的坐标为(x,y)．把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a=OA=(x,y)．
若向量a的坐标为(x,y)，则其模可以用坐标表示为 |a|=x2?y2 (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i=(1,0), j=(0,1)．
以原点O为始点、点A在x,y轴上的投影为终点，是两个分别平行于i, j的向量，根据向量加法定义，有
yj a=xi+yj， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a，直接在a上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出
AB=i-2j =(1,-2)．?
y
x
O
i 图7-16
uuury a xi yj A xi 图7-17
x j O i 课内练习1
1. 写出图9-18中向量OP,EF,CD的坐标，并求它们的模．??
2. 向量关系的坐标表示
向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道
D B O C E 图9-18
x y A P F 了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=b ? a1=a2, b1=b2．?
即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等．? (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=-b ? a1=-a2, b1=-b2．
即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．?
(3)平行(共线)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 ? 移a,b的始点到原点后，它们的终点A,B与原点共线 ? ?OA1A∽?OB1B(见图7-19) ? a1?b1．
a2b2 y a b B x b2 b1 O A a1 a2 A1 B1 图7-19
所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例．? 例1 已知向量a=(2,-1)，当x为多少时，向量b=(x,2)与a平行？ 解 a//b ? 2??1 ? x=-4．所以当x=-4时a//b．
x2课内练习2
1. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：
a=(2,-1), b=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1)． 2. 已知向量a=(9,-4)，当y为多少时，向量b=(-12,y)与a平行？
3．平面向量运算的直角坐标表示
把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．
(1)数乘：设a=(x,y)，即a=xi+yj，b=?a，则 b=?a=?(xi+yj)=?xi+?yj=(?x,?y)，
即 ?a=?(x,y)=(?x,?y)． (7-2-3) 即向量a数乘?后所得向量的坐标，是a的纵、横坐标的?倍． (2)加减法：设a=(a1,b1)，b=(a2,b2)，则
a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，
a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，
即 a+b=(a1+a2, b1+b2)． (7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)． (7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差． (3)给定始终点的向量的坐标
向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，?则 OA=(x1, y1),OB=(x2, y2)，
AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)． (7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．
例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a ? b, 2a?3b． 例3 已知A(1,2), B(?2,1)，求AB,BA． 解 应用公式(10-2-6)，
AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)． 例4 已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．
例5
例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3 小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了 3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？ 课内练习2
1. 已知a=(?1,2), b=(2,?2),求a+ b, a ? b,?a+2b． 2. 已知a=(?2+x,4), b=(?3,?1?y),且a=b,求x,y．
?已知A(2,3),B(-2,5),且AB=2AC，求C点的坐标．
D AO图7-21
x
Cy BO 图7-20 B
x
y
A
uuuruuur 3. 根据下列条件求AB与BA的坐标：
中职数学平面向量教案
