复习引入：
新授： 1. 向量的概念
把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字???符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．
如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．
??? 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．
特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．
为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,B1C1等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|B1C1|．
A D 图7-2(2)
B1
B C C1
a b 图7-2(1)
c
由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．
例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？
课内练习1
1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？
2. 向量的比较 (1)向量相等
任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(a?b)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(a?b)．在例1中的相等向量有且仅有 AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，
更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．
若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．
例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．
(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；
(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？ (2)相反向量
对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：
AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．
例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、
四次位移．
(3)平行向量
若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．
规定零向量平行于任意向量.
根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量． 例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．
课内练习2
1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？
2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？
F F1
3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在 物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物 体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理 的解释．
? W 第3题图
? 复习引入：
新授：
(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．
向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点．记作 c=a+b．
与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量．
? 在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始 点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a,b同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a,b 的和向量c．
解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c． (见图9-10(2))
(2)移b的始点到a的终点，从a的
始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3))． 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b． 例6 已知向量a,b, c, d如图9- 12，求f=a+b+c+d．
解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从
a b
b
a 图9-12
c
f
d
b
b
c a
? 图9-10(2)
b
c
? a
? a ? 图9-9(1)
c b ? a ? 图9-9(2)
? b c 图9-10(1)
图9-10(3)
c d
被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c． 课内练习3
1. 请举一个向量相加的实际问题．
2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？
3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ A 4. 矩形ABCD如图，试求
AB+BC,BC+AB,BA+BC,BA+CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD如第4题，求
(AB+BC)+CD,AB+(BC+CD),AB+BC+DC,BA+BC+DA． 得到的和向量之间有哪些关系？
数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律
a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的减法运算
如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)．应用向量加法法则，可以得出向量减a -b
法运算的法则．图9-
-b 13(1)中是已知向量a,b；图9-13(2) 显示了a+(-b)；图9-13(2)显示了 a-b的直接运算法则，法则的文字 表述是：a-b的结果是一个向量c，
把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c(三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．
a b
c
a
a c b 图9-13(3)
D
第4题图
C B
图9-13(2)
图9-13(1)
中职数学平面向量教案
