第10讲圆的综合应用
问题分类
1. 圆的基本性质的研究.
2?切线性质及其判定的运用研究. 3. 圆与正多边形的关系研究. 4. 与圆相关的计算研究.
C学生常见错误
学生在解决圆知识问题时往往忽视圆中角边关系等隐藏的条件， 往考虑不到位，致使问题缺少条件，对计算问题公式不能熟悉.
基本思路十
及其对辅助线的处理往
对圆知识重点在于四个方面的处理，垂径定理、圆周角圆心角关系、切线性质与判定及 其弧线长、扇形面积计算公式的灵活应用.
题型攻略
1. 垂径定理及其逆定理：根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角 形全等等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积；
2. 圆心角与圆周角：当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思 路.在证明有关问题中注意 90°的圆周角的构造.同时注意同弧所对圆周角是圆心角的 一半的关系；
3?点与圆、直线与圆的位置关系：圆的切线的判定常见方法有两种类型：
⑴当已知条
件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个 半径垂直于已知直线.这种方法简称 连半径，证垂直”.（2）当已知条件中没有明确给出 直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度 等于圆的半径长.这种方法简称 作垂直，证半径”；
4、 圆的相关计算：（1）扇形的周长等于弧长与经过弧的两个端点的半径的和，千万不要 错误地认为扇形的周长等于扇形的弧长.（2）计算圆锥的侧面积时，要注意各量之间的关 系，不要把圆锥底面圆的半径当成扇形的半径，也不要把圆锥的母线长当成扇形的弧长. 5. 与圆有关的综合运用问题：解决动态问题的关键是善于抓住运动变化中暂时静止的一
瞬间，进行观察、猜想，分析 主动”与被动”并探索 变”中的 不变”寻找等量关系 式，达到解题的目的； 【典例解析】 【例题1】（2017山东临沂）如图，/ BAC的平分线交△ ABC的外接圆于点D,Z ABC 的平分线交AD于点E, （1） 求证：DE=DB
（2） 若/ BAC=90，BD=4,求厶ABC外接圆的半径.
D
【分析】（1）由角平分线得出/ ABE=/ CBE / BAE=/ CAD,得出BD=cS，由圆周角定 理得出/ DBC=Z CAD,证出/ DBC=Z BAE,再由三角形的外角性质得出/ DBE=Z DEB 即可得出DE=DB
（2）由（1）得：况二分，得出CD=BD=4由圆周角定理得出 BC是直径，/ BDC=90, 由勾股定理求出BC= . 一 .门迂4「，即可得出△ ABC外接圆的半径. 【解答】（1）证明：：BE平分/ BAC, AD平分/ ABC, ???/ ABE=Z CBE / BAE=/ CAD,
八， ???/ DBC=/ CAD, ???/ DBC=/ BAE,
???/ DBE=/ CBEn/DBC, / DEB=Z ABE+/BAE ???/ DBE=/ DEB ??? DE=DB
（2）解：连接CD,如图所示： 由（1）得:卫二| , ??? CD=BD=4 ???/ BAC=90 ,
??? BC是直径， ???/ BDC=90, :BC='」ljl J「=4 ':，
???△ ABC外接圆的半径 h X 4匚=2匚.
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定 理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.
【例题2】如图，在△ ABC中，AB=AC以AB为直径的。O交BC于点D,过点D作。O 的切线DE,交AC于点E, AC的反向延长线交。O于点F. (1) 求证：DE丄AC;
【分析】(1)欲证明DE丄AC,只需推知OD// AC即可；
(2) 如图，过点0作0H丄AF于点H,构建矩形ODEH设AH=x.则由矩形的性质推 知：AE=10- x, 0H=DE=8- (10-x) =x- 2.在 RtAAOH 中，由勾股定理知：x2+ (x-2) 2=102，通过解方程得到 AH的长度，结合OH丄AF,得至U AF=2AH=X 8=16. 【解答】(1)证明：：OB=OD ???/ ABC=/ ODB, ??? AB=AC ???/ ABC=/ ACB ???/ ODB=Z ACB
??? OD// AC.
???DE是。O的切线，OD是半径， ??? DE 丄 OD, ??? DE 丄 AC；
(2)如图，过点 O 作 OH丄AF于点 H,则/ ODEN DEH=Z OHE=90, ?四边形ODEH是矩形，
? OD=EH OH=DE
设 AH=x.
? DE+AE=8 OD=10,
? AE=10- x, OH=DE=8-( 10-x) =x- 2.
在 RtAAOH 中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即卩 x2+ (x-2) 2=102, 解得Xi=8, x2=- 6 (不合题意，舍去).
? AH=8.
?/ OH丄 AF,
? AH=FH= AF,
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质.解题时，利用了方程 思想，属于中档题.
【例题3】(2017?新疆)如图，AC为。O的直径，B为。O上一点，/ ACB=30,延长 CB至点D,使得CB=BD过点D作DE±AC,垂足E在CA的延长线上，连接 BE (1) 求证：BE是。O的切线；
(2) 当BE=3时，求图中阴影部分的面积.
MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接BO,根据△ OBC和厶BCE都是等腰三角形，即可得到/ BEC2 OBC=
/ OCB=30，再根据三角形内角和即可得到/ EBO=90,进而得出BE是。O的切线; (2)在RtAABC中，根据/ ACB=30, BC=3即可得到半圆的面积以及 RtAABC的面积, 进而得到阴影部分的面积.
【解答】解：(1)如图所示，连接BO,
vZ ACB=30,
???/ OBC=Z OCB=30,
vDE丄AC, CB=BD
??? RtADCE中, BE=,CD=BC
???Z BEC=Z BCE=30,
???△ BCE中, Z EBC=180-Z BEC-Z BCE=120,
? Z EBO=Z EBC-Z OBC=120 -30°90°, ? BE是。O的切线；
(2)当 BE=3时，BC=3
v AC为。O的直径， ? Z ABC=90,
又 vZ ACB=30 ,
? AB=tan30°x BC=「, ? AC=2AB=2_, AO= I ,
?阴影部分的面积=半圆的面积-RtAABC的面积nXAO-
2
1 1
BC
=
nX 3 -二 X
V3X3今兀-訐.
中考数学题型专项研究第10讲：圆的综合应用
