高中数学竞赛模拟试卷（4）
班级 姓名
一、选择题（本题满分36分,每小题6分）
1．设函数f(x)?x?6x?8,如果f(bx?c)?4x?16x?15,那么c?2b的值等于（ ） A．3 B．7 C．-3 D．-7 2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是（ ）
A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 3．给定数列{xn},x1=1,且xn+1=
223xn?13?xn
2005,则
?xn?1n=（ ）
A,1 B．-1
C．2+3
D．-2+3
11?x?,x?[0,)?224．已知f(x)??,定义fn(x)?f(fn?1(x)),其中f1(x)?f(x),则
1?2(1?x),x?[,1]2?1f2007()等于（ ）
51342A． B． C． D．
5555x2y25．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线两支于P、Q
ab两点,交l于R,则 （ ）
A．?PFR??QFR B． ?PFR??QFR C．?PFR??QFR D．?PFR与?QFR的大小定
6．在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
CsinB,都是方程logAsinAbx=logb(4x-4)
的根,则△ABC（ ） A．是等腰三角形,但不是直角三角形 B．是直角三角形,但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形,也不是直角三角形 二、填空题（本题满分54分,每小题9分）
7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 8．如果:（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4} （2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a （3）a是a, b, c, d中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
1
9．设t?()?()?(),则关于x的方程(t?1)(t?2)(t?3)?0的所有实数解之和为 10．若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________.
11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。
12．对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
三、解答题（每小题20分,共60分） 13．已知a, b, c∈R+,且满足
12x23x56xkabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。
a?b?c
14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2,Q是l上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交l于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
?an?1,当n为偶数时，??215． 数列?an?定义如下:a1?1,且当n?2时,an??1
,当n为奇数时．???an?1已知an?
30,求正整数n． 19高二数学竞赛模拟试卷（4）答案
一、选择题
1．设函数f(x)?x?6x?8,如果f(bx?c)?4x?16x?15,那么c?2b的值等于（ ）
A．3 B．7 C．-3 D．-7
解:取x??2,有f(c?2b)?16?16?2?15??1,而当x?6x?8??1时有x??3,所以
222c?2b??3,故选C.
2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是（ ）
A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆
2
解:把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题,容易的出答案D 3．给定数列{xn},x1=1,且xn+1=
3xn?13?xn
2005,则
?xn?1n=（ ）
A,1 B．-1
C．2+3
D．-2+3
33,令x=tanα,∴x=tan(α+?), ∴x=x, x=1,x=2+3, x=-2-3, x=-1, 解:xn+1=nnn+1nn+6n1234
631?xn3xn?2005x5=-2+3, x6=2-3, x7=1,……,∴有
?xn?1n?x1?1。故选A。
11?x?,x?[0,)?224．已知f(x)??,定义fn(x)?f(fn?1(x)),其中f1(x)?f(x),则
1?2(1?x),x?[,1]2?1f2007()等于（ ）
51342A． B． C． D．
555517131412191117解:计算f1()?,f2()?,f3()?,f4()?,f5()?,f6()?,f7()?
51055555551055510111114可知fn()是最小正周期为６的函数。即得fn?6()?fn(),所以f2007()?f3()＝,故
555555选C.
x2y25．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线两支于P、Q
ab两点,交l于R,则 （ ）
A．?PFR??QFR B． ?PFR??QFR C．?PFR??QFR D．?PFR与?QFR的大小定
解:分别做PP??l,QQ??l,垂足分别为P?,Q?,由相似三角形的性质,得
PRQR?,??PPQQPFQFPRPF?e?,则?.故FR平分?PFQ.所以选C. 又有双曲线的第二定义,得
PP?QQ?RQQF6．在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
CsinB,都是方程logAsinAbx=logb(4x-4)
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