例谈反思性数学解题学习 ——以一道三角函数课本习题为
例
孟伟业 (江苏省扬州大学附属中学 225000) 【期刊名称】中学数学月刊 【年(卷),期】2012(000)008 【总页数】2
著名数学家、数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中，给出了著名的“4阶段数学解题表”. 文[1]认为，在这4阶段解题表中，就“学习解题”而言，最重要的应该是“理解题意”阶段和“解题回顾”阶段，它们是最终学会制定解题计划的前提和基础，并且指出无论是理解题意的学习、制定解题计划的学习，还是实现解题计划的学习，一个十分重要的途径是从“解题回顾”来学，也就是从解题后的反思中来学. 然而，在当前的中学数学教学实践中，常常发现学生在解题学习中投入了大量的时间和精力，但效果并不理想. 究其原因多数学生为解题而解题，满足解对或证出为止，至于从解题中可获得哪些启示，已经既无时间顾及也无此意识，因而缺乏对自身解题的认知过程进行反思，难以获得已有信息之外的更多有意义信息，错过了解题中的重要而有效益的方面. 对于反思性数学解题学习的概念以及意义等方面的探讨，有兴趣的读者可以查看文献[2][3]. 下面，笔者将以一道三角函数课本习题为例，给出一些反思的成果. 苏教版数学必修4第3章“三角恒等变换”复习题第11题： 已知sin α+sin β=a，cos α+cos β=b，求cos(α-β)的值.
解 因为 sin α+sin β=a ①，cos α+cos β=b ②，所以①2+②2得 2+2(cos αcos β+sin αsin β)=a2+b2.
故
对于这道习题，我们采用的是平方相加的变形方法，其目的是变换出熟悉的三角公式的结构(如平方关系等)，便于灵活运用相关公式. 那么，我们由条件就仅仅只能求出cos(α-β)的值吗？可以平方相减、两式相乘吗？我们还能得到什么样的结论呢？可以改变条件吗？ 反思1 平方相减
由②2-①2，得cos 2α+cos 2β+2cos(α+β)=b2-a2.
利用和差化积公式，得2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=b2-a2. 将代入，即得到(注：约定a,b均不为零，下同) 反思2 两式相乘
由①×②，得sin αcos α+sin βcos β+cos αsin β+sin βcos β=ab， 即
由和差化积公式，得sin(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)=ab， 所以
这样我们利用了平方相减以及两式相乘求出了cos(α+β)和sin(α+β)的值. 还有其他方法求出cos(α+β)和sin(α+β)的值吗？ 反思3 两式相除 由得 所以
由上述结果我们也可以求出 这里，我们运用的是两式相除，知识方面主要运用了和差化积公式和万能公式，与前面的方法相比，这里并不需要先求出cos(α-β).
反思4 角的变换
如何由条件中的α,β到目标中的α+β呢？为此，我们考虑角的变换. 将sin α+sin β=a变为sin[(α+β)-β]+sin[(α+β)-α]=a，则
sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β+sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=a，即sin(α+β)(cos β+cos α)-cos(α+β)(sin β+sin α)=a. 所以 sin(α+β)b-cos(α+β)a=a ③.
类似地，由cos α+cos β=b可得cos(α+β)b+sin(α+β)a=b ④. 由③、④联立，解方程组，得 反思5 改变条件
上述的探究均是在题设的条件下进行的，那么我们能否改变条件呢？我们注意到题目中是同名的三角函数搭配(简称“同名搭”)，且中间均是“+”号，那么我们能否改变其中连接符号？我们能否将同名的三角函数搭配改为异名的三角函数搭配(简称“混合搭”)呢？ 如
等，我们都可以利用两式平方相加、平方相减、两式相乘求出相应的三角函数值.由于和前面相类似，在此不再赘述. 反思6 一般性的讨论 下面我们讨论一般的情况：
当k1,k2取不同的值时，就包括了“同名搭”、“混合搭”以及连接号为全“+”、全“-”、一“+”一“-”的所有情况.
在一般情况中，我们仍将两式平方后相加，即可得平方相减，即可得两式相乘，即可得
例谈反思性数学解题学习———以一道三角函数课本习题为例
