第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)
热点一 三角形基本量的求解
求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果．
例1 (2024·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对43的边，已知acos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，a2＋c2－b2＝S，其中S为△ABC
3的面积． (1)求sin C；
(2)若a－b＝2－3，求△ABC的周长． a
解 (1)由正弦定理得acos A＝，
2sin A∴sin 2A＝1，又0<2A<π， ππ
∴2A＝，则A＝.
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又a2＋c2－b2＝·acsin B，
32由余弦定理可得2accos B＝∴tan B＝3，
23acsin B， 3
π
又0 3 ππ?2＋6＋＝∴sin C＝sin(A＋B)＝sin?. ?43?4asin A2 (2)由正弦定理得＝＝， bsin B3 ?a＝2， 又a－b＝2－3，∴? ?b＝3， 又sin C＝∴c＝2＋6 ， 4 2＋622＋6 ·＝， 4222 326 ∴a＋b＋c＝＋3＋. 22 跟踪演练1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos A＝bcos C＋ccos B. (1)求A； (2)若a＝7，b＝8，求c. c2＋a2－b2 解 (1)方法一 由余弦定理cos B＝， 2aca2＋b2－c2 cos C＝， 2ab 得2acos A＝bcos C＋ccos B＝a， 1 ∴cos A＝. 2π ∵0 3 方法二 由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， 得4Rsin Acos A＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B ＝2Rsin(B＋C)， 1 A＋B＋C＝π，∴cos A＝， 2π ∵0 3 (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 得72＝82＋c2－2×8×c×， 2即c2－8c＋15＝0， 解得c＝3或c＝5. 热点二 与三角形面积有关的问题 三角形面积的最值问题主要有两种解决方法：一是将面积表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定三角形面积的最值． π 2x＋?＋23sin xcos x＋3. 例2 (2024·湖南雅礼中学月考)已知函数f(x)＝cos?3??(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值； 1 (2)设△ABC的 三 边 a，b，c 所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝7，f(C)＝＋3， 2求△ABC的面积． π 2x＋?＋23sin xcos x＋3 解 (1)f(x)＝cos?3??π 2x＋?＋3. ＝sin?6?? ∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，最小值为3－1. π1 2C＋?＋3＝＋3， (2)∵f(C)＝sin?6??2π1π 2C＋?＝，∴C＝， ∴sin?6?2?3又a＝2，c＝7. 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C可得b＝3(负值舍去)， 1 ∴△ABC的面积为S△ABC＝absin C 21333＝×2×3×＝. 222 跟踪演练2 (2024·江淮十校联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccos C＋bcos A＋acos B＝0. (1)求角C的大小； π (2)若c＝3，A＝，求△ABC的面积． 6解 (1)由正弦定理及已知条件 2ccos C＋bcos A＋acos B＝0 得，2sin Ccos C＋(sin Bcos A＋cos Bsin A)＝0， 即2sin Ccos C＋sin(B＋A)＝0， 2sin Ccos C＋sin C＝0， 1 又sin C>0，得cos C＝－， 2 2π 又C∈(0，π)，∴C＝. 32π (2)由(1)知C＝，在△ABC中， 33a 由正弦定理得，＝，∴a＝3. 2ππsin sin 36π 又由三角形的内角和定理得，B＝π－A－C＝， 6π 即B＝A＝，∴a＝b＝3， 61 ∴△ABC的面积S＝absin C 21333＝·3·3·＝. 224 热点三 以平面几何为背景的解三角形问题 解决以平面几何为载体的解三角形问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到π 如大边对大角，最大角一定大于等于?确定三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系?3??角或边的范围． 例3 (2024·深圳调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，3 且cos∠BCD＝－. 5 (1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长； (2)若∠CBD＝45°，求CD的长． 解 (1)若对角线AC平分∠BCD， 即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD， 3 ∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－， 5∵cos∠ACB>0，∴cos∠ACB＝ 5， 5 5， 5 ∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝ ∴由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得， 25AC2－AC－3＝0， 5 35 解得AC＝5，或AC＝－(舍去)， 5∴AC的长为5. 3 (2)∵cos∠BCD＝－， 5 4 ∴sin∠BCD＝1－cos2∠BCD＝， 5又∵∠CBD＝45°， ∴sin∠CDB＝sin(180°－∠BCD－45°) ＝sin(∠BCD＋45°) ＝ 22 (sin∠BCD＋cos∠BCD)＝， 210 BCCD ＝， sin∠CDBsin∠CBD ∴在△BCD中，由正弦定理 BC·sin∠CBD 可得CD＝＝5，即CD的长为5. sin∠CDB 跟踪演练3 (2024·淮南模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝3，AD＝ 321 ，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC＝－. 23
2024高考数学(文)二轮复习讲义《专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)》
