课时分层训练(七十) 离散型随机变量的均值与方差
A组 基础达标
一、选择题
1．若离散型随机变量X的分布列为( )
X 0 1 aa2P 22则X的数学期望EX＝( ) A．2 1C． 2
1
B．2或
2D．1
C [因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a221
＝1，所以EX＝.]
2
2．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则a的值为( )
aa2
2
X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5 C．7
B．6 D．8
C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4， ∴EX＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]
3．(2024·湖北调考)已知随机变量η满足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，则下列说法正确的是( )
A．Eη＝－5，Dη＝5 B．Eη＝－4，Dη＝－4 C．Eη＝－5，Dη＝－5 D．Eη＝－4，Dη＝5
D [因为E(1－η)＝1－Eη＝5，所以Eη＝－4.D(1－η)＝(－1)Dη＝5，所以Dη＝5，故选D.]
4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( )
【导学号：79140379】
2
A.
12 524B. 25D.26
5
8C. 5
3
B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4
5
?3?次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B?4，?， ?5?
3?3?24
所以DX＝4××?1－?＝.] 5?255?
5．(2024·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝( ) A．3 C．
7
B． 2D．4
2
3
112
A21A3＋C2C3A23
B [ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝2＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)3
A510A510A3C2C3＋A3C3C231337
＝＝，则Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故选B.] 4
A55101052二、填空题
6．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________． 3
[法一：先求出成功次数X的分布列，再求均值． 2
13
由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可
4411331
能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C2××＝，
16448
311
321
?3?9
P(X＝2)＝??＝. ?4?16
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
2
X 0 1 2 P 139 16816则在2次试验中成功次数X的均值为 EX＝0×＋1×＋2×＝.
1163893162
3
法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为EX＝
4
np＝2×＝.] 3432
?1?7．设X为随机变量，X～B?n，?，若随机变量X的均值EX＝2，则P(X＝2)等于________． ?3?
80?1? [由X～B?n，?，EX＝2，得 243?3?
np＝n＝2，∴n＝6，
1
3
?1??1?80
则P(X＝2)＝C???1－?＝.] ?3??3?243
26
24
8．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直7射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望EY>，
4则P的取值范围是________.
【导学号：79140380】
?0，1? [由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2， ?2???
75122
则EY＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)＝p－3p＋3>，解得p>或p<，
422
?1?又p∈(0,1)，所以p∈?0，?.]
?2?
三、解答题
9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值． [解] (1)X的取值为0,1,2,3,4，其分布列为
X 0 1 P 2 3 4 11131 2201020511131∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
22010205
DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×
1
211322
＋(2－1.5)×＋(3－1.5)×＋(4－201020
推荐2024年高考数学一轮复习课时分层训练70离散型随机变量的均值与方差理北师大版
