6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( ) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 答案：D
→→→
2．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC等于( ) →1→A．－2AB B.AB
3→1→
C．－AB D．2AB
3
→→→→
解析：如图，AC＝3AB，所以BC＝2AB. 答案：D
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.3 C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝
－3
，解得m＝－1或m＝3. 2－m答案：A 4.
→→→→→→
如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝( ) 3A．a＋b
431B.a＋b 44
11C.a＋b 4413D.a＋b 44
→→→→3→→3→→1→3→13解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
444444答案：D 二、填空题
5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a. 答案：2
→→→→AC3
6．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.
CB2
→→→→AC3AC解析：因为C在线段AB上，且＝，所以AC与AB方向相同，BC与AB方向相反，且＝
CB2AB→3→→3BC22→
，＝，所以AC＝AB，BC＝－AB. 5AB555
32
答案： －
55
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5， 33∴|λ|＝，即λ＝±.
553
答案：±
5三、解答题 8．计算
111
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
3421?(2)?2?
3a＋2b7??27?13?
－a－b?－?a＋?b＋a??. ?3?6?27?6??
?131??211?解析：(1)原式＝?＋－?a＋?－＋?b ?342??322?
72＝a＋b. 123
1?7?7?3?(2)原式＝?a＋b?－?a＋b? 2?3?6?7?
7171
＝a＋b－a－b＝0. 6262
→→
9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b→表示EF.
解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线， →1→1所以PE＝BC＝a.
22
→1→1→1
在△ABD中，FP是中位线，所以PF＝AD＝－DA＝－b.
222→→→→→111
在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－PE＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．
222
[尖子生题库]
→→→
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.
→
(1)用e、f表示AD；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
→→→→
解析：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
→→
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC， →→→→
所以AD与BC方向相同，且AD的长度为BC的长度的2倍， 即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC， 所以四边形ABCD是梯形．
2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应
