第8章 组合变形
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8.1 组合变形的概念
前面几章我们研究了等直杆的拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲这四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，还会遇到许多上述两种或两种以上的基本变形所组合成的变形，这种变形称为组合变形。例如，如图8-1所示钻床的立柱在P作用下将发生拉伸和弯曲变形；如图8-2所示的带轮轴，力T及轴承反力使其弯曲，而力偶矩m0和m1使轴扭转，带轮轴的变形是弯曲与扭转的组合变形。
图8-1 图8-2
构件组合变形时的强度计算，在构件变形较小且服从胡克定律的条件下，可运用叠加原理，首先将作用在构件上的外力进行适当的简化，然后通过平移或分解，使每一组外力只产生一种基本变形，分别计算出各种基本变形引起的应力，最后将它们叠加起来，便得到原有载荷作用下截面上的应力，并进行强度计算。
下面介绍工程中最常见的弯拉（压）和弯扭两种组合变形的强度计算。
8.2 弯曲与拉伸（压缩）组合变形时的强度计算
如图8-3(a)为一左端固定而右端自由的矩形截面悬臂梁，在其自由端作用一力P，力P的位于梁的纵向对称面内且与梁的轴线成一夹角α（见），力P沿x、y方向可分解为两个分力Px、Py（见图8-3（b））, Px使梁产生轴拉伸变形，Py使梁产生弯曲变形，因此梁在力P的作用下的变形为拉伸与弯曲组合变形。下面对其进行强度计算。
图8-3
如图8-3（b）所示，将力沿杆的轴线和轴线的垂直方向分解为两个分力。
Px?Pcos?
Py?Psin?
在轴向力Px的单独作用下，杆件发生拉伸变形，杆上各截面的轴力都相等，N?Px?Pcos?,与轴力N相对应的拉伸正应力?N呈均匀分布，如图8-3（f）即
在横向力Py的单独作用下，杆发生弯曲变形。杆上固定端截面具有最大弯矩
?N?NA
Mmax?Pyl?Plsin?，与弯矩Mmax相对应的弯曲正应力?W沿截面高度呈线性分布，在上、下边
缘处绝对值最大，如图8-3（g）即
?W?所示。
危险截面的上、下边缘的正应力分别为
由于上述两种应力都是正应力，故可按代数和进行叠加。当?W??N时，其应力分布如图8-3（e）
MmaxWz
?max? ?minNMmax?AWz NM?-max AWz由上可见，危险截面上边缘各点的拉应力最大，是危险点。对于塑性材料，因许用拉应力和许用压应力相同。故可建立强度条件
?max?对于脆性材料，因其许拉应力
拉NMmax ????? （8-1）
AW压???和许用压应力???不同，故应分别建立强度条件
?拉max??压max?NMmax ????拉? （8-2）
AWNMmax????压?AW （8-3）
其中，?拉max、?压max-----危险截面上的最大拉、压应力。
上述讨论虽然是针对图8-3所示的情况，但其原理同样适用于其他支座和载荷情况下的弯—拉（压）
组合变形。
例8-1 如图8-4（a）所示的夹具，在夹紧零件时，夹具所受到的外力为P=2KN。已知外力作用线与夹具的竖杆轴线平行，其距离e=60mm，竖杆横截面的尺寸b=10mm，h=22mm，其材料的许用应力???＝160MPa。试校核此夹具的竖杆强度。
解 对于夹具的竖杆，P是一对偏心力。P对竖杆的作用相当于图8-4（b）中所示的一对轴向力P和一对在竖杆的xy平面内的力偶，其矩M=Pe。显然，竖杆将发生弯曲和拉伸的组合变形。其任一横截面m-m上轴力和弯矩分别为
N=P=2KN
Mz=M=Pe=2000×0.6=120 N·m
竖杆的危险点是在横截面内侧边缘处。因为在该处对应于轴力和弯矩所产生的应力都是拉应力。此危险点处的应力为
?max?NMmax2000120?6????158 MPa AWz0.01?0.0220.01?0.0222因为
?max?158MPa?????160MPa 所示竖杆的强度条件得到满足。
图8-4
8.3 圆轴弯曲与扭转组合变形强度计算
在工程实际中会用到大量的轴，但只受到纯扭转而不发生弯曲的轴是很少见的。一般说来，轴除受扭转外，还同时受到弯曲，即产生弯扭组合变形。如转轴、曲柄轴等就是如此。现以如图8-8（a）所示的圆轴为例，说明弯扭组合变形的强度计算方法。
圆轴左端A固定，自由端B受力F和力偶矩mo作用，力F与轴线垂直相交，使轴产生弯曲变形；力
偶矩mo使轴产生扭转变，所以，圆轴AB产生弯扭组合变形。
分别考虑力F和力偶的作用，画出弯矩图和扭矩图，分别如图8-8（b）、(c)所示。可见，圆轴各截面的扭矩相同，但弯矩不同，其中固定端处弯矩最大，故固定端截面A为危险截面，其上弯矩值和
图8-5
扭矩值分别为
M?Fl Mn?mo
在危险截面上，对应弯矩M的弯曲正应力?沿截面高度呈线性分布（见图8-8（d）），在铅锤直径的上、下边缘点由最大弯曲正应力，其值为
??应力，其值为
对应扭矩Mn的扭转力?在截面上沿半径线性分布（见图8-8（d）），在周边各点有最大扭转剪
MW
??
由以上分析可知，在危险截面铅锤方向上、下边缘a、b两点上，?和?均为最大值，故a、b两点都是危险点，可选任意其中一点作为研究对象。
但这种情形比弯—拉组合作用时复杂的多，不能直接将?和?进行叠加。这种问题的强度计算，必须先找出材料在复杂应力情况下的破坏原因。由于复杂应力的试验难以达到，因此常以简单拉伸（压缩）实验时所得到的材料破坏特性来作为在复杂应力情况时材料破坏原因的假设。这种假设成为强度理论。
对于近代广泛采用的塑性材料，第三、四强度理论比较符合。下面扼要地介绍第三强度理论。 第三强度理论认为，无论应力情况如何复杂，只要最大剪应力达到再简单拉伸时的最大值，材料就发生破坏。所以，第三强度理论也称为最大剪应力理论。
由第三强度理论可知，对于弯、扭组合变形问题，应找出它的最大剪应力。此最大剪应力有分析可得
MnWn
?max?按第三强度，强度条件为
1?2?4?2 (8-4) 2 ?max????
式中许用剪应力[τ]与许用正应力之间的关系为[?]? ?max?将上式代入公式（8-4），可得
为了方便起见，将上式左边的以上式变为
???
2[?]，所以有 2 ?2?4?2???? （8-5）
?2?4?2部分成为第三强度的相当应力，并以?xd3来表示，所
?xd3?M2?Mn2????
因为圆轴扭转的弯曲应力??MM，扭转应力??n，所以上式变为 WWn ?xd3?M2?MnW2???? (8-6)
其中，?xd3、?xd4-----第三、第四强度理论相当应力。
???----材料的许用应力。
按第四强度，强度条件为
M、Mn、W——危险截面的弯矩、扭矩和抗弯截面系数；
?2?3?2???? （8-7）
同理，按第四段强度理论分析所得强度计算公式为
?xd4?M2?0.75MnW2 ???? （8-8）
从上面的分析可知，圆轴弯扭组合变形强度计算时，可直接将危险截面上的M、（8-6）、Mn代入式（8-8）计算。但要特别注意，对非圆截面的弯扭组合变形不能用这两式计算，而必须用式（8-5）、
（8-7）计算。
如果弯扭组合变形时，同时有铅直面和水平面两个方向的弯曲变形，则式（8-6）、（8-8）中的M表示这两个方向的合成弯矩，即
例8-3 转轴AB由电动机带动，如图8-6（a）所示。在轴的中点C处装一带轮。重力G?5kN,直径D?800mm，皮带紧边拉力T1?6kN，松边拉力T2?3kN。轴材料为钢，许用应力????120MPa。按第三强度理论设计转轴AB直径d。
2M＝M合＝My?Mz2
材料力学第8章组合变形
