综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． 故填(－∞，0)∪(1，＋∞)．
【点拨】本题将函数的零点问题巧妙地转化为求使不等式组有解的参数范围问题，从而得到关于参数a的不等式．有别于其他函数与方程问题通常采用数形结合转化为函数图象交点的策略，本题结合分段函数的意义与不等式，从另一个角度将问题进行转化，对学生的思维能力要求较高．
1， x＞0，??
(2015·湖北)已知符号函数sgn x＝?0， x＝0， f(x)是R上的增函数，
??－1，x＜0.
g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )
A．sgn [g(x)]＝sgn x B．sgn [g(x)]＝－sgn x C．sgn [g(x)]＝sgn [f(x)] D．sgn [g(x)]＝－sgn [f(x)]
解：∵f(x)是R上的增函数，又a＞1，∴当x＞0时，f(x)＜f(ax)，即g(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x＜0时，f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0.
?1， x＞0，
?
由符号函数sgn x＝?0， x＝0，可得，
??－1，x＜0－1，x＞0，??
sgn[g(x)]＝?0， x＝0，＝－sgn x．故选B. ??1， x＜0
1．对应、映射和函数三者之间的关系
对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
2．判断两个函数是否相等
判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．
3．函数的表示法
函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数的性质需求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．
4．函数的定义域
给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定
义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；另一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：
(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集；
(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数进行分类讨论；
(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．
5．求函数解析式的主要方法
待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f(g(x))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．
6．函数的值域
求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：
(1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．
(2)当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所对应的实数y的集合．
(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．
(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．
1．(2015·山西调研)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，则y＝f(x)的图象可以是( )
解：A项定义域为[－2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对定义域中除2以外的任一x均有两个y与之对应，故A，C，D均不符合条件．故选B.
2．给出下面四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝x－3＋2－x是函数； ③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
2??x，x≥0，④y＝?的图象是抛物线． 2
?－x，x＜0?其中正确的有( ) A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解：命题①，函数是一种特殊的映射，故①正确；命题②，定义域是空集，故②错误；命题③，y＝2x(x∈N)的图象是一些孤立的点，故③错误；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线，故④错误．只有①正确，故选A.
3．(2015·山东模拟)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1，1) C．(－1，0)
1??B.?－1，－?
2??
?1?D.?，1? ?2?
1
解：因为函数f(x)的定义域为(－1，0)，故－1<2x＋1<0，解得－1 2 2??x－x，x≤0， 4．(2014·南充模拟)已知函数f(x)＝?则“f(x)≤0”是“x≥0”的 ?log2x，x>0，?( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解：若f(x)≤0，则当x≤0时，f(x)＝x－x＝x(x－1)≤0，解得x＝0；当x>0时，f(x)＝log2x≤0，解得0 ??3x－1，x<1，f(a) 2015·山东5．()设函数f(x)＝?x 则满足f(f(a))＝2的a的取 ?2， x≥1，? 2 值范围是( ) ?2?A.?，1? ?3??2?C.?，＋∞? ?3? aB．[0，1] D．[1，＋∞) f(a) 解：当a≥1时，f(a)＝2＞1，所以f(f(a))＝2，即a≥1符合题意；当a＜1时， f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，易知f(x)为R上的增函数，则f(a)≥1，即3a－1≥1， 2?2?解得≤a＜1.综上得a的取值范围是?，＋∞?.故选C. 3?3? 6．(2015·四川模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．例如解析式为y＝2x＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个： (1)y＝2x＋1，x∈{－2}； (2)y＝2x＋1，x∈{2}； (3)y＝2x＋1，x∈{－2，2}． 那么函数解析式为y＝2x＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2 2 222 2 解：由题意，当函数值为1时，x＝0；当函数值为5时，x＝±2，故符合条件的定义域有{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}．所以函数解析式为y＝2x＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个．故选C. x(x＞0)的值域是___________． x＋x＋1 xx111 解：由y＝2(x>0)，得0 x＋＋12x·＋1xx7．(2015·江西模拟)函数y＝ 2 11?1??1?＝，即x＝1时，y＝.因此该函数的值域是?0，?.故填?0，?. x3?3??3? ?2x＋a， x＜1，? 8．(2015·山东模拟)已知实数a≠0，函数f(x)＝? 若f(1－a) ??－x－2a，x≥1. ＝f(1＋a)，则a的值为________． 解：当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1.此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－ 3 (1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意， 2舍去．当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1.此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝ 3 2(1＋a)＋a＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a4 33 的值为－.故填－. 44 9．函数f(x)满足f(x－3)＝(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的值域． 解：(1)令x－3＝t?x＝t＋3. t＋3t＋3 ∴f(t)＝＝2. 2（t＋3）＋1t＋6t＋10 x＋3 ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2. x＋6x＋10 x＋32 (2)令y＝2?yx＋6yx＋10y＝x＋3， x＋6x＋10∴yx＋(6y－1)x＋10y－3＝0. 当y＝0时，x＝－3； 当y≠0时，Δ＝(6y－1)－4y(10y－3)≥0， 2 2 x2 x＋1 . 11 ∴－≤y≤且y≠0. 22 ?11?综上知f(x)的值域为?－，?. ?22?bx＋1?1?10．已知f(x)＝(a，b为常数，ab≠2)，且f(x)·f??＝k为定值，求k的值． 2x＋a?x? b＋1x1bx＋1??解：∵f(x)·f??＝· ?x?2x＋a2 ＋ax（bx＋1）（b＋x）bx2＋（b2＋1）x＋b＝＝. 22 （2x＋a）（2＋ax）2ax＋（a＋4）x＋2a又由条件知当x≠0时，恒有： 1?bx2＋（b2＋1）x＋b?f(x)·f??＝2＝k(常数)． ?x?2ax＋（a2＋4）x＋2a?1?则f(1)·f(1)＝f(2)·f??＝k. ?2? 22 b＋2b＋12b＋5b＋2即2＝， a＋4a＋42a2＋10a＋8亦即2ab＋2a＝ab＋4b，∴(ab－2)(a－2b)＝0. ∵ab≠2，∴a－2b＝0，即a＝2b， b＋1?2?b＋1?21?2 ∴k＝f(1)＝??＝??＝. ?a＋2??2（b＋1）?411．已知函数f(x)＝（1－a）x＋3（1－a）x＋6. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围． 解：(1)①若1－a＝0，即a＝±1， (i)当a＝1时，f(x)＝6，定义域为R，符合要求； (ii)当a＝－1时，f(x)＝6x＋6，定义域不为R. ②若1－a≠0，g(x)＝(1－a)x＋3(1－a)x＋6为二次函数，∵f(x)的定义域为R，∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 g(x)≥0，?x∈R恒成立， 2 ?1－a＞0，? ∴? 2 2 ??Δ＝9（1－a）－24（1－a）≤0??－1＜a＜1，5???－≤a＜1. 11?（a－1）（11a＋5）≤0? ?5?综合①②得a的取值范围是?－，1?. ?11? (2)∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)， ∴函数2 ?1－a＞0，? g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6取一切非负实数，∴ ? 22?Δ＝9（1－a）－24（1－a）≥0? ??－1＜a＜1，5???－1＜a≤－. 11?（a－1）（11a＋5）≥0? 当a＝－1时，f(x)＝6x＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求． 5??故所求实数a的取值范围为?－1，－?. 11?? ??log2（1－x），x≤0， 定义在R上的函数f(x)＝? 则f(2 015)的值为 ?f（x－1）－f（x－2），x＞0，? ________． 解：∵x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)． 两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)， ∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， ∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2 015)＝1，故填1.
核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数()及函数的应用 2.1 函数及
