§2.1 函数及其表示
1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ．
2．函数的表示方法
(1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是 来表示两个变量之间的对应关系的方法． 3．构成函数的三要素
(1)函数的三要素是： ， ， .
(2)两个函数相等：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则称这两个函数相等．
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
5．映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
6．映射与函数的关系
(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_________． (2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集． ．．
7．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
自查自纠
1．唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域 2．(1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格
3．(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系 5．任意一个 唯一确定的 6．(1)映射
(2014·山东)函数f(x)＝
的定义域为( ) 2
（log2x）－1
1
?1?A.?0，? ?2??1?C.?0，?∪(2，＋∞) ?2?
B．(2，＋∞)
?1?D.?0，?∪[2，＋∞) ?2?
12
解：(log2x)－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义
2
?1?域是?0，?∪(2，＋∞)．故选C. ?2?
??1＋log2（2－x），x<1，
(2015·全国新课标Ⅱ)设函数f(x)＝?x－1 则f(－2)＋
?2， x≥1，?
f(log212)＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解：由条件得f(－2)＝1＋log24＝3，因为log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.
下列各图表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正确的是( )
A．都表示映射，都表示y是x的函数 B．仅③表示y是x的函数 C．仅④表示y是x的函数 D．都不能表示y是x的函数
解：根据映射的定义，①②③中，x与y的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.
??2x，
(2015·甘肃模拟)已知f(x)＝?
??f（x＋1），x≤0，
x＞0，
?4? 则f?－?＝________.
?3?
244?4??4??1??1??2?解：由题意知f?－?＝f?－＋1?＝f?－?＝f?－＋1?＝f??＝2×＝.故填. 333?3??3??3??3??3?
x－1
?e，x＜1， (2014·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝?1 则使得f(x)≤2成立的x的取值范
??x3，x≥1，
围是________．
?
???x＜1，?
解：由题设知f(x)≤2可转化为?x－1或?1
?e≤2??
x≥1，
解得x≤8.故填(－∞，8]．
?x3≤2，
类型一 函数和映射的定义
下列对应是集合P上的函数的是________．
①P＝Z，Q＝N，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； ②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x，x∈P，y∈Q；
③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应． 解：由于①中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，而③中集合P不是数集，所以①和③都不是集合P上的函数．由题意知，②正确．故填②.
【点拨】函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y与之对应；③集合P，Q是否为非空数集．
(2013·南昌模拟)给出下列四个对应：
1
①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝；
x＋1
?1?11*?*????②A＝a|a∈N，B＝b|b＝，n∈N?，对应关系f：a→b，b＝；
na?2???③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y＝x；
④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．
其中是从A到B的映射的为________．
解：对于①，当x＝－1时，y值不存在，所以①不是从A到B的映射；
??111
对于②，A，B两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B＝?1，，，，…?，
234??
1
由对应关系f：a→b，b＝知，②是从A到B的映射；
2
2
*
a③不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素±1； ④是从A到B的映射． 故填②④.
类型二 判断两个函数是否相等
已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是( )
2
|x－1|
A．g(x)＝
|x＋1|2
|x－1|??，x≠－1，|x＋1|B．g(x)＝?
??2，x＝－1
??x－1，x＞0，
C．g(x)＝?
?1－x，x≤0?
D．g(x)＝x－1
2
|x－1|??＝|x－1|，x≠－1，
解：∵g(x)＝?|x＋1| 与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故
??2，x＝－1
选B.
【点拨】两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．
(2013·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )
332
A．f(x)＝x，g(x)＝x
??1，x≥0，|x|
B．f(x)＝，g(x)＝?
x?－1，x＜0?C．f(x)＝
2n＋1
x2n＋1，g(x)＝(
2n－1
x)2n－1，n∈N*
D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x（x＋1）
332
解：对于A，f(x)＝x＝|x|，g(x)＝x＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N时，2n±1为奇数，则f(x)＝(2n－1
*
2n＋1
x2n＋1＝x，g(x)＝
x)2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义
域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.
类型三 求函数的定义域
(1)(2015·山东模拟)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为( ) 3??A.?，＋∞? ?4??3?C.?，1? ?4?
B．(－∞，1)
?3?D.?，1? ?4?
??4x－3＞0，3
解：要使函数有意义，x应满足? 解得＜x≤1，所以函数的定义
4?log0.5（4x－3）≥0，?
?3?域为?，1?.故选D.
?4?
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，则函数y＝f(x－3)的定义域为________．
2??x－3≥－1，
解：由题意知?2 ?x－3＜1，?
?x≤－2或x≥2，解得?
?－2＜x＜2.∴函数的定义域为(－2，－2]∪[2，2)． 故填(－2，－2]∪[2，2)．
【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数
2
y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列
不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
log2（x－1）
(1)(2015·安徽省黄山市检测)函数y＝的定义域为________．
2－x(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2)的定义域为________．
??x－1＞0，
解：(1)要使函数有意义，x应满足? 解得1＜x＜2，所以函数的定义域为(1，
?2－x＞0，?2)．故填(1，2)．
(2)令1≤2≤7，得0≤x≤log27，故所求函数的定义域为[0，log27]．故填[0，log27]．
类型四 求函数的值域
xx 求下列函数的值域：
2
1－x(1)y＝2； (2)y＝2x＋1－x；
1＋xx2－2x＋52
(3)y＝2x＋1－x； (4)y＝；
x－1(5)若x，y满足3x＋2y＝6x，求函数z＝x＋y的值域； (6)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
解：(1)解法一：(反解)
2
1－x1－y2
由y＝，解得x＝， 2
1＋x1＋y1－y2
∵x≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1，
1＋y∴函数值域为(－1，1]．
2
2
2
2
核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数()及函数的应用 2.1 函数及
