第一课时 数列
知识要点
一、 数列的概念
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3?an,?,简记?an?.
2．数列?an?的第n项an与项数n的关系若用一个公式an?f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 3．数列可以看做定义域为N（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法
数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、 数列的分类
1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项an与前n项和Sn的关系 1．Sn?a1?a2?a3???an???ai?1ni
2．an?S1???Sn?Sn?1n?1 n?2课前热身
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．an?n?(n?1) B．an?n?1 C．an22?n(n?1)n(n?1) D．an? 222.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,?中，x的值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13
3．数列?an?的通项公式为 an?3n?28n,则数列各项中最小项是( )
2A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项
4．已知数列?an?是递增数列，其通项公式为an?n??n,则实数?的取值范围是
25．数列?an?的前n项和Sn?n?4n?1,，则
2典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…
1
⑵
2468,?,,?,? 3153563⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
?S1a?题型二 应用n??Sn?Sn?1(n?1)求数列通项
(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn，分别求其通项公式.
⑴Sn?3?2 ⑵Snn1?(an?2)28(an?0)
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列?an?的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴a1?1,2an?1?an?14n?122
2(2)a1?1,⑶a1
an?0,(n?1)an?1?nan?an?an?1?0，
?1,an?1?1an?1 2数学门诊
已知Sn是数列?an?的前n项和，且满足Sn通项公式。
22?3n2an?Sn?1，其中an?0,n?2,3,4?，又a1?2，求数列?an?的
课堂演练
1． 若数列?an?的前n项的SnA．an?2?3n?1?3an?3，那么这个数列的通项公式为（ ） 2nn B．an?3?2 Ｃ．an?3n?3 Ｄ．an?2?3
2．已知数列?an?满足a1?0，an?1?an?33an?1 （n?N），则a20?（ ）
?Ａ．0 Ｂ．?3 Ｃ．3 Ｄ．4.已知数列?an?满足a1?1,
n?13 2an?3
3n?1?an?1,(n?2)，⑴求a2和a3 ⑵证明：an?
22
6.2等差数列
知识要点
1． 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d表示。 2．递推关系与通项公式
是数列?an?成等差数列的充要条件。
5．等差数列?an?的基本性质(其中m,n,p,q?N)
?⑴若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之，不成立。
⑵an?am?(n?m)d ⑶2an?an?m?an?m
⑷Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
递推关系：an?1?an?d通项公式：an?a1?(n?1)d推广：an?am?(n?m)d变式：a1?an?(n?1)d;an?a1n?1a?amd?nn?md?
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
由此联想到点(n,an)所在直线的斜率。
特征：an?dn?(a1?d),an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等
差数列
②中项法：
即：an?f(n)?kn?m,(k,m为常数）an?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成
等差数列的充要条件。 ３．等差中项：
若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b2an?1?an?an?2列
③通项公式法：
（n?N?)??an?是等差数
an?kn?b列
(k,b为常数)??an?是等差数
?a?c；a,b,c成等差数列是2b?a?c的充2④前n项和公式法：
要条件。 ４．前n项和公式
Sn?An2?Bn差数列 课前热身：
(A,B为常数)??an?是等
(a?an)nn(n?1)dSn?1 ； Sn?na1?
22变式：
1．等差数列?an?中，a1?a4?a7?39,
a1?anSna1?a2???an??2nndd?a1?(n?1)?an?(n?1)?(?);
22San?2n?12n?1a2?a5?a8?33,则a3?a6?a9?（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21 2．等差数列?an?中，
a4?a6?a8?a10?a12?120,1则a9?a11的值为(C3
3．等差数列?an?的前n项和为Sn，当a1，d变化时，
3
特征：Sn?d2dn?(a1?)n,22即Sn?f(n)?An2?BnSn?An2?Bn(A,B为常数))
A．14 B．15 C．16 D．17
若 a2?a8?a11是一个定值，那么下列各数中也是定值的是）
②设bn?Sn，一个新数列?bn?，若?bn?也n?cA．S13B．S20B．S15C．S8是等差数列，求非零常数c；
③求f(n)?值 数学门诊
若数列?an?是等差数列，数列?bn?满足
Tn分别为等差数列?an?与?bn?的前n 项5．设Sn，
bn? （n?N）的最大
(n?25)bn?1an4n?2S?，则19? 和
bn2n?5T19 典例精析
一、等差数列的判定与基本运算
例1：⑴已知数列?an?前n项和Sn?n?9n
2bn?an?an?1?an?2（n?N?），?bn?的前n项和为Sn，已知3a5?8a12?0，试问n为何值时，Sn取
得最大值？并证明你的结论。
课堂演练
1．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若
①求证：?an?为等差数列；②记数列?an? 的前n项和为Tn，求 Tn的表达式。
⑵数列?an?中，Sn是前n项和，当n?2时，
?1?12Sn?an(Sn?)①求证：??是等差数列，
2?Sn?Sn②设bn?，求?bn?的前n项和Tn
2n?1二、公式的应用
例2：设等差数列?an?的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn
①若a11?0，S14?98，求数列?an?的通项公式 ②若a1?6，a11?0，S14?77，求所有可能的数列?an?的通项公式 三、性质的应用
例3：已知等差数列?an?中，公差d>0前n项和为
S31S?，则6?（） S63S12A．
3111 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10389２．在等差数列?an?中a1?2，a2?a3?13， 则
a4?a5?a6等于（ ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
3．等差数列?an?中，a1?0，S9?S12，则前____项的和最大。
4．已知等差数列?an?的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
６．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知
a3?12，S12?0，S13?0 ①求出公差d的范围，
Sn，且满足：a2a3?45，a1?a4?14，
①求数列的通项公式；
4
?，S12中哪一个值最大，并说明理 ②指出S1，S2，6.3等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q，（q?0)。 2． 递推关系与通项公式
递推关系：an?1?qan通项公式：an?a1?qn?1 推广：an?am?qn?m3． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b??ac，注：b?ac是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前n项和公式
2(q?1)?na1?Sn??a1(1?qn)a1?anq??1?q?1?q(q?1)
5． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q?N) ①若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之不真！ ②qn?m??an2，an?an?m?an?m(n?N?) am ③?an?为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
?仍成等比数列。 ④q??1时，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，6． 等比数列与等比数列的转化 ①?an?是等差数列?c??an(c?0，c?1)是等比数列；
(c?0，c?1)是等差数列；
②?an?是正项等比数列??logcan? ③?an?既是等差数列又是等比数列??an?是各项不为零的常数列。 7． 等比数列的判定法 ①定义法：
an?1?q（常数）??an?为等比数列； an2②中项法：an?1?an?an?2n(an?0)??an?为等比数列；
(k,q为常数）??an?为等比数列；④前n项和法：
5
③通项公式法：an?k?q
高中数列知识大总结（绝对全）
