第8节 函数与方程
[A级 基础巩固]
??2－1，x≤1，
1．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点为( )
?1＋log2x，x＞1，?
x1
A.，0 2
B．－2，0
x1C. 2
D．0
解析：当x≤1时，由f(x)＝2－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，1
解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
2
答案：D
2．(2024·长郡中学等十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]2
为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于( )
xA．1 B．2 C．3 D．4
2
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所
3以x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.
答案：B
x－2x，x≤0，??
3．已知函数f(x)＝?1则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
1＋，x>0，??xA．0
B．1
C．2
D．3
2
解析：函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.
答案：C
4．已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
1
A. 4
2
2
1B. 87C．－
8
2
3D．－
8
解析：令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1
2
2
- 1 -
7
＋λ)＝0，解得λ＝－.
8
答案：C
??log2x，x>0，
5．函数f(x)＝?有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) x?－2＋a，x≤0?
A．a<0 1
C. 1 B．0 2D．a≤0或a>1 解析：因为当x>0时，x＝1是函数f(x)的一个零点， 所以当x≤0时，要使f(x)＝－2＋a没有零点， 则－2＋a<0或－2＋a>0恒成立， 即a<2或a>2恒成立，故a≤0或a>1. 所以函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a<0. 答案：A 6．(多选题)若函数f(x)＝x＋x－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 3 2 xxxxx x f(x)的 近似值 1 －2 321.5 0.625 1.25 －0.984 1.375 －0.260 1.437 5 0.162 1.406 25 －0.054 那么方程x＋x－2x－2＝0近似解(精确度为0.05)可以是( ) A．1.25 C．1.406 25 B．1.437 5 D．1.421 9 解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点， 又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05， 所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解． 则B、C、D均满足要求． 答案：BCD ??2，x≤1， 7．(2024·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝?2若关于x的方程f(x) ?x－3x＋3，x>1，? |x| ＝2a(a∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( ) 1 A. C. 1 B．a＝ 2D．a∈R - 2 - 解析：作出函数f(x)的图象如图： 因为关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根， 所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点， 3 所以2a>2或<2a≤1. 431 解之得a>1或 82答案：C 8．已知函数f(x)＝a＋log2(x＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围是( ) A．(5，6) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10) 2 解析：由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， 所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8. 令g(a)＝a＋log2a－8，a>0. 则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0， 又g(a)在(0，＋∞)上是增函数， 所以实数a所在的区间为(5，6)． 答案：A π??9．(2024·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]的零点个数为________． 6??π?πππkπ?解析：由题意知，cos?3x＋?＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，6?6293? k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝ 数f(x)在[0，π]的零点个数为3. 答案：3 π 94π7π ；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函99 10．函数f(x)＝x＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示)． 解析：依题意，f(x)＝x＋ax＋b有不变号零点， 所以Δ＝a－4b＝0，知a＝4b， 从而函数的零点x0＝－. 2 2 22 2 a - 3 -
2024高考数学一轮复习第二章函数第8节函数与方程练习
