求圆的（标准）方程常见类型 一、已知圆心和半径─公式法
例1圆心C（-3,4），半径为5【参考答案(x?3)2?(y?4)2?5】 变式1：已知圆心和圆上一点 例2已知圆心C（8，-3），且经过点M（5,1）
解：r?(8?5)2?(?3?1)2?25?5
?所求圆的方程是(x?8)2?(y?3)2?25
变式2：已知圆的一条直径的两个端点
例3已知A(－4，－5)、B(6，－1)，求以线段AB为直径的圆的方程【参考
答案(x－1)2＋(y＋3)2＝29】 总结归纳：圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)
二、已知圆上两点和半径
例4在轴上的截距为-1和9，且半径为13
解法1：由题意得，所求圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）
则弦AB的中垂线方程为x?4，所以设圆心坐标为C（4，b）
?AC?(4?(?1))2?b2?13解得b??12 ?所求方程为(x－4)2＋(y±12)2＝169
解法2：（待定系数法）设圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?169 因为圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）
?(?1?a)2?(0?b)2?169 ?? 22?(9?a)?(0?b)?169?a?4?a?4 解得?或?
?b?12?b??12 ?所求方程为(x－4)2＋(y±12)2＝169
三、已知圆上两点且圆心在一条直线上
例5圆过点A(1，－2)，B(－1,4)， 圆心在直线2x－y－4＝0上，求圆的方
程。
1
解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝3x.
即
x－3y＋3＝0
?x－3y＋3＝0，?x＝3，由? 得? ?2x－y－4＝0.?y＝2.即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝(3－1)2＋(2＋2)2＝25.
∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0,2x0－4)，
∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|
(x0?1)2?(2x0?4?(?2))2=(x0?(?1))2?(2x0?4?4)2
解得x0?3所以C（3,2）r?20
∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法3：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
?222则?(－1－a)＋(4－b)＝r，?2a－b－4＝0.
(1－a)2＋(－2－b)2＝r2，
?a＝3，??b＝2，?r2＝20.
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
归纳总结：当圆心在一条直线上时，可以用一个未知数设出圆心坐标，从而
减少未知数个数，简化计算。
四、已知三点
例6设P(0,0)、Q(5,0)、R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆方程
解：由题意知△PQR是直角三角形．
5＋12－13
又|QR|＝52＋122＝13，内切圆的半径是r1＝＝2，其圆心为C1(2，
2－2)．
∴内切圆方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝4， 13?5?
外接圆半径r2＝2，圆心为C2?2，－6?.
??169?5?2
∴外接圆的方程为?x－2?＋(y＋6)2＝4. ??
已知三个点可采用待定系数法和与类型三相同的解法。
求圆的方程
