目 录
摘 要 ............................................................. 1 Abstract ........................................................... 2 引 言 ............................................................. 3 1 线性变换 ......................................................... 4
1.1 线性变换的定义 .............................................. 4
1.1.1 线性变换的概念 ........................................ 4 1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 .............................. 4 1.2 矩阵的相似对角化问题 ........................................ 5
1.2.1 相似对角化问题 ........................................ 5 1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 ................................ 5
2 线性变换的对角化 ................................................. 7
2.1 线性变换的对角化 ............................................ 7
2.1.1 线性对角化的提出 ...................................... 7 2.1.2 线性对角化的定义 ...................................... 7 2.2 线性变换的特征值与特征向量 .................................. 7
2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 ...................... 7 2.2.2 线性变换的特征多项式 .................................. 7 2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 ........................ 8
2.3.1 特征值与特征向量的联系 ................................ 8 2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 .............. 9 2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 ...................... 9 2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 ......................... 10
3 线性对角化问题的相关题目 ........................................ 14 总 结 ............................................................ 16 参考文献 .......................................................... 17 致 谢 ........................................................... 18
摘 要
线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。
关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量
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Abstract
Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.
Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors
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引 言
线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
在线性变换的对角化问题中，本文提出矩阵相似对角化问题，给出矩阵的特征值与特征向量等概念，在此之后总结它们与矩阵特征值和特征向量之间的关系,并把线性变换与矩阵对角化问题之间的密切关系探究清楚。充分应用探究的结论，最后使我们通透掌握线性变换的对角化与矩阵相似对角化的内在联系与区别。
尝试将整个内容贯穿在一条主线，以分析线性变换和矩阵的特征值、特征向量与特征多项式为重点，总结说明在这几方面的联系，并且归纳求解线性变换特征值与特征向量的方法步骤，使整个内容清晰简洁，做到一目了然。将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰，易于掌握与通透理解。
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1 线性变换
1.1 线性变换的定义 1.1.1 线性变换的概念
定义1 设V是数域F上的线性空间，?是V到自身的一个映射，即对于V中的任意元素x均存在唯一的y?V与之对应，则称?为V的一个变换或算子，记为?x?y,称y为x在变换?下的象，x为y的原象。若变换?还满足
?(kx?ly)?k?(x)?l?(x) ?x,y?V,k,l?F 称?为V的线性变换。
1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示
定义2 设V是数域F上一个n维向量空间，令?是V的一个线性变换。取定V的一个基?1,?2,?,?n， 令
?(?1)?a11?1?a21?2???an1?n, ?(?2)?a12?1?a22?2???an2?n,
????
?(?n)?a1n?1?a2n?2???ann?n.
这里aij,i,j?1,?,n就是?(?j)关于基?1,?2,?,?n的坐标。 令n阶矩阵
?a11a12?a1n???a22?a2n??a A??21???????a??n1an2?ann?那么这个n阶矩阵A叫做线性变换?关于基{?1,?2,?,?n}的矩阵。矩阵A的第j列的元素就是?(?j)关于基{?1,?2,?,?n}的坐标。
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浅谈线性变换的对角化问题
